Übungen zur Quantenmechanik (B.Sc. Physik Modul TP 5

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Prof. Dr. R. Verch
UNIVERSITAT LEIPZIG
Dipl. Phys. D. Rings, Dipl. Phys. S. Sturm
Inst. f. Theoretische Physik
Wintersemester 2009/10
Übungen zur Quantenmechanik (B.Sc. Physik Modul TP 5)
Aufgabenblatt 13
Aufgabe 37 [Diese Aufgabe wird korrigiert und gewertet, Wert = 6 Punkte]
Das relativistische Analogon der stationären Schrödingergleichung für ein spinloses Teilchen in
einem bzgl. x = 0 sphärisch symmetrischen Potential V (x) lautet (c = Lichtgeschwindigkeit,
m = Ruhemasse des Teilchens)
( c2 |P |2 + c4 m2 )ψ = ( E − V (|X|) )2 ψ
als Eigenwertgleichung für E (ψ ∈ L2 (R3 , d3 x) mit geeigneten Regularitätseigenschaften).
Geben Sie die zugehörige radiale und reduzierte radiale Schrödingergleichung an. Bestimmen
Sie das diskrete Energiespektrum für den Fall, dass V das Coulombpotential ist.
Hinweis: (1) Sie können das folgende, in der Vorlesung diskutierte Ergebnis benutzen:
Lösungen uε ∈ L2 (R+ , dr) mit uε (r = 0) = 0 der Eigenwertgleichung für ε,
−u′′ε (r) −
b(b + 1)
A
uε (r) +
uε (r) = −εuε (r) (r > 0)
r
r2
mit A > 0, b ≥ 0, existieren für solche Werte von ε ≥ 0, die die Bedingung
√
ε(ν + b + 1) =
A
2
mit ν ∈ N0
erfüllen.
(2) Die Energiewerte ergeben sich schliesslich als Lösungen quadratischer Gleichungen. Um
die Wahl der Lösung zu treffen, beachten Sie, dass nur solche Werte von E sinnvoll sind,
die — abgesehen von der Ruheenergie mc2 — sich nur durch kleine Korrekturen von den
Energiewerten beim nichtrelativistischen Potential unterscheiden.
Aufgabe 38 Untersuchen Sie das Energiespektrum eines kräftefreien Teilchens der Masse
m∗ in einem kugelförmigen Behälter mit festem Radius R > 0. Der Einfluss der Wände werde
durch Dirichlet-Randbedingungen modelliert. Geben Sie die möglichen Energiewerte für ein
Teilchen mit Drehimpuls ℓ = 0 an. Welche Form hat das Energiespektrum im Fall ℓ 6= 0 im
Limes sehr hoher Energien?
Hinweis: Zur Bearbeitung dieser Aufgabe ist es erforderlich, sich über die Besselsche Differentialgleichung und deren Lösungen zu informieren.
/...2
1
Aufgabe 39 In dieser Aufgabe sollen Sie mit Hilfe des Ritzschen Variationsverfahrens die
Grundzustandsenergie des Hamiltonoperators für das Wasserstoffatom,
H=
e2
1
2
|P
,
|
−
2m∗
|X|
definiert auf einem Bereich genügend regulärer Funktionen im L2 (R3 , d3 x), abschätzen. Beim
Ritzschen Variationsverfahren wird nach Wahl einer (genügend regulären) Familie von Versuchsfunktionen ψs , parametrisiert durch s > 0, das Minimum der Funktion
s 7→ (ψs , Hψs )/(ψs , ψs )
bestimmt. Führen Sie das Variationsverfahren für die folgenden Wahlen von Versuchsfamilien
durch:
(i) ψs (x) = ϕ(sx) mit einem beliebigen (genügend regulären) ϕ ∈ L2 (R3 , d3 x).
(ii) Wie in (i), mit ϕ(x) = e−|x| .
(iii) Wie in (i), mit ϕ(x) = (1 + |x|2 )−1 .
Vergleichen Sie die Ergebnisse zu (ii) und (iii) mit der exakten Grundzustandsenergie für das
Wasserstoffatom.
Hinweis: Drücken Sie bei (i) die Normierung und die Erwartungswerte von kinetischer und
potentieller Energie bzgl. ψs durch die entsprechenden Größen bzgl. ϕ aus, also durch N(ϕ) =
e2
)ϕ), jeweils multipliziert mit einer Potenz
(ϕ, ϕ), T (ϕ) = (ϕ, |P |2 ϕ)/2m∗ und V (ϕ) = (ϕ, ( |X|
von s. Für das Einsetzen der konkreten (radialsymmetrischen) Funktionen in (ii) und (iii)
benutzen Sie den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten. Alle für die Berechnung der Erwartungswerte benötigten Integrale über r = |x| können Sie Formelsammlungen entnehmen
oder mit Hilfe von Computerprogrammen berechnen.
Abgabe: Am Mittwoch, den 27.01.2010 vor der VL.
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