Fortgeschrittenen Quantentheorie WS 12/13 - Hu

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Physik
Dr. V. Mitev, D. Müller, H. Münkler, Prof. Dr. J. Plefka
Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13
Übungsblatt 9, Abgabe am Fr. 21.12.12 vor der Vorlesung,
Besprechung in den Übungen am 7.01.13/09.01.13.
1
Nichtrelativistischer Limes der Klein-Gordon Gleichung
Wir betrachten die Klein-Gordon-Gleichung mit minimaler Kopplung an ein elektromagnetisches Feld,
d.h.
∂2
� 2 + m2 c4 )Ψ ,
− �2 2 Ψ = (−�2 c2 ∇
∂t
mit der Ersetzung
� µ
�
e
� .
∂ → ∂ µ − Aµ ,
A = (φ, A)
i
i
c
Führen Sie den nichtrelativistischen Limes der Klein-Gordon-Gleichung im elektromagnetischen Feld
mithilfe des Ansatzes
�
2
Ψ(�x, t) = Ψ (�x, t)e−imc t/�
�
für die Wellenfunktion Ψ durch, um die Schrödingergleichung für Ψ (�x, t) im elektrischen Feld zu
�
�
erhalten. Hierbei ist anzunehmen, dass |�∂t Ψ | und |eφ(�r, t)Ψ | von der gleichen Ordnung sind, aber
�
2
klein im Vergleich zu mc |Ψ | sind.
2
Klein-Gordon Gleichung und Stufenpotenziale
Wir betrachten die Klein-Gordon Gleichung in zwei Raumzeitdimensionen und koppeln sie an ein
äusseres Feld, d.h.
��
�
�2 �
�2
1 d
iq
d
iq
m2 c2
− A0 −
− A1 + 2
φ(t, x) = 0.
c dt �c
dx �c
�
tE
Sei nun q = −|e|, A0 (t, x) = U (x), A1 = 0 und φ(t, x) = e−i � ψ(x). Zeigen Sie, dass ψ(x) die
Schrödinger Gleichung
d2
2m
ψ + 2 (Eeff − Veff (x)) ψ = 0,
(1)
2
dx
�
2
2 4
−m c
erfüllt, wobei Veff zu bestimmen ist und Eeff := E 2mc
.
2
Untersuchen Sie die Gleichung (1) für den Fall, dass U (x) = U0 θ(a − |x|), auf gebundene Zustände.
Zur Erinnerung: es gilt
�
1 x≥0
θ(x) =
.
0 x<0
3
Die Lorentzgruppe und die Eigenschaften der Matrizen α
� und β
a) Eine Lorentztransformation des Vierervektors xµ = (ct, x1 , x2 , x3 ) ist gegeben durch die lineare
µ
Transformation x� = Λµ ν xν mit der Eigenschaft die Vierernorm zu erhalten:
µ
ν
x2 ≡ ηµν xµ xν = ηµν x� x� .
Es ist oft hilfreich von einer Matrixnotation Gebrauch zu machen, in der der metrische Tensor ηµν
als Matrix G und Λµ ν als Matrix Λ bezeichnet wird. Zeigen Sie, dass die Lorentzmatrix Λ der
Matrixgleichung
G = ΛT GΛ
genügen muss, wobei T die transponierte Matrix bezeichnet. Beweisen Sie, dass die Menge
L := {Λ ∈ M (4 × 4; R) : G = ΛT GΛ}
eine Gruppe bildet. Hierzu sind die Gruppenaxiome zu überprüfen, d.h. falls Λ1 und Λ2 Elemente
der Gruppe sind, so ist auch ihr Produkt Λ1 Λ2 ein Element; weiterhin sind die Identität und das
Inverse Gruppenelemente.
b) In der Vorlesung haben wir die N × N Matrizen αi (i = 1, 2, 3) und β eingeführt, die den Antikommutatorrelationen
αi αj + αj αi = 2δij 1 ,
α i β + β αi = 0 ,
β2 = 1 ,
genügen. Zeigen Sie, dass daraus Sp(β) = Sp(αi ) = 0 folgt und dass die Eigenwerte von αi und β
die Werte ±1 annehmen!