(fn)n Fibonacci-Zahlen, rekursiv definiert durch f0

PD Dr. T. Timmermann
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Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Übungsblatt 1
Diese Aufgaben werden in der Woche vom 24. bis 28. Oktober in den Übungen gemeinsam gelöst
und sind nicht abzugeben. Die Lösungen zum Übungsblatt 2 sind bis zum 28. Oktober abzugeben.
Aufgabe 1.
Für die (fn )n Fibonacci-Zahlen, rekursiv definiert durch
f0 = 0,
fn+1 = fn + fn−1 für n ≥ 1,
f1 = 1,
kann, wie in der Vorlesung
skizziert, eine explizite Formel wie folgt gefunden werden:
fn
Die Vektoren Fn =
, definiert für n ≥ 1, erfüllen die Gleichung
fn−1
Fn+1 = AFn = · · · = An F1
mit
A=
1 1
.
1 0
(1)
Bestimmen Sie
(a) die Eigenwerte λ1 , λ2 von A;
(b) zugehörige Eigenvektoren v1 , v2 von A;
(c) Zahlen α1 , α2 ∈ R mit F1 = α1 v1 + α2 v2 ;
(d) Zahlen β1 , β2 ∈ R mit fn = β1 λn1 + β2 λn2 . (Hinweis: Verwenden Sie (c) und (1)).
Aufgabe 2.
Sei λ ∈ R und y : R → R eine Lösung der Differenzialgleichung
y 0 (t) = λy(t).
(a) Zeigen Sie: die Funktion z : R → R, definiert durch z(t) = y(t)e−λt , ist konstant
und es gilt y(t) = y(0)eλt für alle t ∈ R. (Hinweis: Was ist z 0 (t)?)
(b) Zeigen Sie, dass y eine Halbwertszeit t0 besitzt, die für alle t ∈ R die Gleichung
y(t + t0 ) = y(t)/2
(2)
erfüllt.
Zusatzaufgabe 3. Seien λ, δ > 0.
nacheilendem Argument der Form
Wir betrachten eine Differenzialgleichung mit
y 0 (t) = λy(t − δ),
die zum Beispiel das Wachstum einer Bakterienpopulation ohne Sterberate modelliert,
wenn die Bakterien erst ab dem Lebensalter δ zur Vermehrung beitragen.
(a) Welche Gleichung muss µ > 0 erfüllen, damit die Funktion z : R → R, definiert
durch z(t) = eµt , diese DGL mit nacheilendem Argument löst?
(b*) Zeigen Sie, dass es ein µ > 0 gibt, welches die in (a) gefundene Gleichung löst.
(Hinweis: Schreiben Sie die Gleichung in der Form λ = g(µ) und betrachten Sie
g(0) sowie limµ→∞ g(µ)).
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