Elektrodynamik Sommersemester 2016 Aufgabenblatt 10

Elektrodynamik
Sommersemester 2016
Aufgabenblatt 10
Abgabetermin: Freitag 24.06.2016 um 12.00 Uhr
ED 10.1: Betrachten Sie die Laplace-Gleichung
∆φ = 0 ,
(1)
mit ∆ := ∂i ∂ i . Zeigen Sie, dass unter der Annahme, dass φ im Unendlichen (|x| → ∞) verschwindet, nur φ = 0 eine Lösung ist. Hierfür ist es
nützlich, die Fourier-Transformierte von (1) zu bilden.
Lösen Sie die mit Massenterm modifiziete Gleichung
(∆ + m2 )φ = 0 .
(2)
Finden Sie im Falle der Wellengleichung ein explizites Gegenbeispiel, d.h.
eine Funktion φ 6= 0, die im Unendlichen verschwindet und φ = 0 löst.
ED 10.2: Betrachten Sie Eichtransformationen des Maxwell-Feldes der Form
µ
Aµ (x) → A0 (x) = Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) ,
(3)
wobei Λ(x) eine beliebige zweifach stetig differenzierbare Funktion ist.
(a) Zeigen Sie explizit, dass die Maxwell-Wirkung,
Z
1
µν
µ
4
S[A] = d x − Fµν F + Aµ j
,
4
(4)
invariant unter Eichtransformationen ist? Welche Eigenschaft muss
j µ hierfür erfüllen?
(b) Zeigen Sie explizit, dass das elektrische Feld E und das magnetische
Feld B Observablen sind, d.h., dass diese Felder invariant sind unter
den Eichtransformationen (3).
(c) Die Eichfreiheit der Theorie erlaubt es, eine Eichung zu fixieren.
Betrachten Sie die Beispiele
(i) ∂µ Aµ = 0
und
(ii) ∂i Ai = 0 .
(5)
Hierbei handelt es sich um die Lorentz- bzw. die Coulomb-Eichung.
Fixieren diese Eichungen Aµ jeweils vollständig? Falls nicht, geben
Sie die Bedingung für Λ an, welche die verbliebenen Eichtransformationen erfüllen müssen. Nutzen Sie Ihr Wissen aus Aufg. 10.1.
1
(d) Welche Gleichung erfüllt A0 in der Coulomb-Eichung? (Die Benennung der Eichung ist also sinnvoll.)
ED 10.3: Bestimmen Sie die Green-Funktion des Laplace-Operators ∆ mit
abfallenden Randbedingungen, also die Funktion G(x), welche die Gleichung
∆G(x) = δ (3) (x)
(6)
löst, und im Unendlichen (|x| → ∞) verschwindet. Verwenden Sie hierfür
die folgenden alternativen Vorgehensweisen:
(a) Regularisieren Sie die Delta-Funktion, indem Sie sie durch eine homogen ausgeschmierte, kugelförmige Verteilung mit endlichem Radius ersetzen. (Beachten Sie, dass das Integral über die regularisierte Funktion auf 1 normiert sein muss.) Berechnen Sie die zugehörige regularisierte Green-Funktion G unter Ausnutzung der geeigneten Rand- und Anschlussbedingungen. Bestimmen sie schließlich G durch den Limes → 0.
(b) Bestimmen Sie die allgemeine (radial-symmetrische) Lösung von (6)
für x 6= 0 und ermitteln Sie die Integrationskonstanten über (i) die
Abfallbedingung und (ii) die über eine Kugelumgebung integrierte
Version von (6). Bei (ii) sollten Sie den Satz von Gauß verwenden.
Was geht bei der direkten Auswertung des Integrals in Kugelkoordinaten schief?
(c) Lösen Sie die (algebraische) Gleichung,
sich aus (6) durch FourierR 3die−ik·x
Transformation, also für G̃(k) := d x e
G(x), ergibt und berechnen Sie G(x) durch Rücktransformation. Das entsprechende kIntegral kann wie folgt durchgeführt werden:
• Führen Sie für k Kugelkoordinaten ein, deren “Nordpol” in xRichtung zeigt.
• Das Azimutal-Integral kann trivial, das Polar-Integral elementar ausgeführt werden.
• Das verbleibende Radial-Integral
kann durch eine geeignete VariablenR∞
Substitution in die Form 0 dx sin(x)/x gebracht werden. Der
Wert dieses Integrals beträgt π/2.
Wo ging bei dieser Rechnung die Abfallbedingung ein?
(d) Verwenden Sie die aus der Vorlesung bekannte (zeitabhängige) GreenFunktion des d’Alembert Operators .
ED 10.4: Ideen zur offenen Diskussion während der Tutorien:
Wie viele Freiheitsgrade gibt es in der Maxwell-Theorie? Diskutieren Sie
diese Frage in beiden Eichungen aus Aufg. 10.2. Wie ändert sich das im
Falle der Proca-Theorie aus Aufg. 9.1?
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