Analysis III

Institut für Mathematik
Prof. C. Trunk
H. Gernandt
Analysis III
6. Übungsserie zur Abgabe am 26.11.2014
Thema: Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Aufgabe 25 (10 P)
Es sei [a, b] ein abgeschlossenes Intervall. Es seien α1 , α2 , β1 , β2 ∈ R mit α12 + α22 > 0 und
β12 + β22 > 0. Zu p ∈ C 1 ([a, b], R) mit p(x) ̸= 0 für x ∈ [a, b] und q ∈ C 0 ([a, b], R) betrachten
wir das folgende Sturm-Liouville-Problem (f ∈ C 0 [a, b])
(py ′ )′ + qy = f
(1)
α1 y(a) + α2 y ′ (a) = 0,
β1 y(b) + β2 y ′ (b) = 0.
(2)
(3)
mit den Randbedingungen
Wir definieren eine lineare Abbildung L : D(L) → C 0 [a, b] durch
D(L) := {y ∈ C 2 [a, b] : y erfüllt (2) und (3)} ⊂ C 0 [a, b],
Ly := (py ′ )′ + qy, y ∈ D(L).
Dann gibt es (vgl. Satz von Picard-Lindelöf) Funktionen ya , yb ∈ C 2 [a, b] mit ya , yb ̸= 0, so
dass (pya′ )′ + qya = 0 = (pyb′ )′ + qyb gilt, wobei ya die Gleichung (2) und yb die Gleichung
(3) erfüllt.
(i) Zeige, dass für die Wronski-Determinante W (x) der Funktionen ya , yb ,
[
]
ya (x) yb (x)
W (x) := det
, x ∈ [a, b],
ya′ (x) yb′ (x)
die folgenden Aussagen gelten.
(a) Für alle x ∈ [a, b] gilt (pW )′ (x) = 0. Also ist die Funktion pW gleich einer
Konstanten.
(b) Ist L injektiv, so gilt W (a) ̸= 0.
(ii) Es sei L injektiv, c := (p(a)W (a))−1 und eine Greensche Funktion g : [a, b] × [a, b] →
R sei definiert mittels
{
cya (x)yb (t), falls a ≤ x ≤ t ≤ b
g(x, t) :=
cya (t)yb (x), falls a ≤ t ≤ x ≤ b.
G : C 0 [a, b] → C 0 [a, b] sei erklärt durch
∫ b
(Gf )(x) :=
g(x, t)f (t)dt,
f ∈ C 0 [a, b].
a
Beweise, dass ran(G) = D(L), ker(G) = {0}, LGf = f für f ∈ C 0 [a, b] und GLh = h
für h ∈ D(L) gilt.
1
(iii) Zeige, dass ein Vektor ϕ genau dann Eigenvektor von L zum Eigenwert λ ist, wenn
ϕ ein Eigenvektor von G zum Eigenwert λ1 ist. In diesem Fall gilt
dim ker(λI − L) = dim ker(λ−1 I − G) = 1.
Aufgabe 26
Beweise, dass
dn −x2
e
dxn
ein Polynom n-ten Grades ist und die Hermitesche-Differentialgleichung
2
Hn (x) := (−1)n ex
y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0
löst. Weise außerdem nach, dass für n ̸= m die Hermite-Polynome Hn und Hm orthogonal
zueinander sind bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
∫ ∞
2
(f, g) :=
f (x)g(x)e−x dx.
−∞
Aufgabe 27*
Löse die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators für ein Teilchen der Masse
m ∈ (0, ∞) und mit der Frequenz ω ∈ (0, ∞),
~2 ′′ 1
y + mω 2 x2 = ~ω(n + 1/2)y,
2m
2
√
mω 2
indem man zeigt, dass yn (x) = e− ~ x /2 Hn ( mω
x) eine Lösung der obigen Gleichung
~
darstellt. Welchen Wert hat das Skalarprodukt
∫ ∞
(yn , ym ) :=
yn (x)ym (x)dx für n ̸= m?
−
−∞
2