Analysis III

Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
Übungsblatt 11
17. Januar 2017
Analysis III
im Wintersemester 2016/2017
Abgabe: In der Übung am 18. Januar 2017
Aufgabe 41 (5 Punkte): Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
1
1
y10 = − y1 + y2 + ln x + ,
x
x
0
y2 =(1 − x)y1 + y2 + (x − 1) ln x
auf (0, ∞).
Hinweis: Eine Lösung des zugehörigen homogenen Systems ist die Funktion ϕ : (0, ∞) → R,
x 7→ (1, x)T .
Aufgabe 42 (10 Punkte): Es seien [a, b] ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und α1 , α2 , β1 , β2
reelle Zahlen, sodass
α12 + α22 > 0,
β12 + β22 > 0
gilt. Zu p ∈ C 1 ([a, b], R), p(x) 6= 0 für alle x ∈ [a, b] und q ∈ C 0 ([a, b], R) betrachten wir das
Sturm-Liouville-Problem
−(py 0 )0 + qy = f
für f ∈ C 0 ([a, b], C) mit den Randbedingungen
α1 y(a) + α2 y 0 (a) =0,
β1 y(b) + β2 y 0 (b) =0.
(1)
(2)
Wir definieren die lineare Abbildung L : D → C 0 ([a, b], C) durch
n
o
D := y ∈ C 2 ([a, b], C) : y erfüllt (1) und (2) ,
Ly := − (py 0 )0 + qy,
y ∈ D.
Es existieren (vgl. Satz von Picard-Lindelöff) Funktionen ya , yb ∈ C 2 ([a, b], C), sodass −(pya0 )0 +
qya = 0 = −(pyb0 )0 + qyb gilt, wobei ya die Randbedingung (1) und yb die Randbedingung (2)
erfüllt.
1
Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
(i) Zeige, dass für die Wronski-Determinante W : [a, b] → C,
!
y (x) yb (x)
W (x) := det a0
ya (x) yb0 (x)
die folgenden Aussagen gelten:
(a) Für alle x ∈ [a, b] gilt (pW )0 (x) = 0, d. h. pW ist konstant.
(b) Ist die Abbildung L injektiv, so gilt W (a) 6= 0.
−1
(ii) Es seien L injektiv, c := − p(a)W (a)
Funktion mit
g(x, t) :=
und g : [a, b] × [a, b] → C eine Greensche

cy
falls a ≤ x ≤ t ≤ b
falls a ≤ t ≤ x ≤ b.
a (x)yb (t),
cya (t)yb (x),
Die Abbildung G : C 0 ([a, b], C) → C 0 ([a, b], C) sei erklärt durch
(Gf )(x) :=
Z b
g(x, t)f (t) dt.
a
Beweise, dass D = Bild(G), Kern(G) = {0}, LGf = f für alle f ∈ C 0 ([a, b], C) sowie
GLh = h für alle h ∈ D gilt.
(iii) Zeige, dass eine Funktion ϕ genau dann ein Eigenvektor von L zum Eigenwert λ ist,
wenn ϕ ein Eigenvektor von G zum Eigenwert λ−1 ist. Was gilt in diesem Fall für die
Dimension des Raumes ker(λI − L) = ker(λ−1 I − G)?
Aufgabe 43 (5 Punkte): Beweise, dass
Hn (x) := (−1)n ex
2
dn −x2
e
dxn
für n ∈ N ein Polynom n-ten Grades ist und die Hermitesche Differentialgleichung
y 00 − 2xy 0 + 2ny = 0
auf R löst. Weise außerdem nach, dass für n 6= m die Hermite-Polynome Hn und Hm bezüglich
des gewichteten Skalarproduktes
(f, g) :=
Z ∞
2
f (x)g(x)e−x dx
−∞
orthogonal zueinander sind.
x2
Hinweis: Betrachte zur Untersuchung der Orthogonalität Funktionen der From fn (x) := Hn (x)e− 2
und nutze, dass Hn eine Lösung ist.
2