Übungen zur Linearen Algebra 2

TFH Berlin
Fachbereich II
Quelle: H. Anton (1998), Lineare Algebra
Stelle: z.B. (1.1.8) Kapitel 1.1. Aufgabe 8
Otto Hamborg
Übungen zur Linearen Algebra 2
Studiengang Mathematik, Blatt 4
23.
(6.EÜ.13)
Sei (v1, v2, … , vn) eine Orthonormalbasis des Vektorraums V mit Skalarprodukt.
Der Vektor u schließe mit dem i-ten Basisvektor vi den Winkel αi ein.
Zeigen Sie
cos2α1 + cos2α2 + … + cos2αn = 1 .
(6.EÜ.15)
Zeigen Sie, dass jedes von einer orthogonalen Matrix auf Rn erzeugte
Skalarprodukt das Standardskalarprodukt ist.
25.
Sei x ein von Null verschiedener Vektor aus Ñn. Man zeige, dass die n x n-Matrix
24.
A = In −
(6.EÜ.2)
26.
(6.EÜ.4)
27.
(6.EÜ.8)
2
x
2
xx T symmetrisch und orthogonal ist.
Man zeige mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, dass für positive reelle
Zahlen a1, a2, …, an
⎛1
1
1 ⎞
( a1 + a2 + " + an ) ⎜ + + " + ⎟ ≥ n2 gilt.
an ⎠
⎝ a1 a2
Gibt es ein gewichtetes inneres Produkt auf Ñ2 , sodass (1, 2) und ( 3, –1)
orthonormal sind? Man begründe die Antwort.
(6.EÜ.9)
Seien Cij die Kofaktoren einer orthogonalen Matrix Q = (qij). Man zeige, dass für
jedes Element von Q die Gleichung qij = det(Q)Cij gilt.
29.
Bestimmen Sie die charakteristischen Gleichungen der folgenden Matrizen:
28.
(7.1.7)
i)
30.
⎡0
⎢
⎢1
⎢0
⎢
⎣⎢0
0
2 0⎤
⎥
0
1 0⎥
1 −2 0 ⎥
⎥
0 0 1⎦⎥
ii)
⎡10 −9 0 0⎤
⎢
⎥
⎢ 4 −2 0 0 ⎥
⎢ 0 0 −2 −7 ⎥
⎢
⎥
1 2⎦⎥
⎣⎢ 0 0
Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrizen aus Aufgabe 29.
(7.1.8)
31.
Bestimmen Sie die Eigenraumbasen für die Matrizen aus Aufgabe 29.
(7.1.9)
32.
(7.1.20)
33.
(7.1.21)
Sei x ein Eigenvektor der invertierbaren Matrix A zum Eigenwert λ
Beweisen Sie, dass x dann auch Eigenvektor von A–1 zum Eigenwert
.
1
λ
ist.
Sei x Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ und s ein Skalar.
Zeigen Sie, dass x Eigenvektor von A – s1 zum Eigenwert λ – s ist.
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