Aufgabenblatt 10 - Institut für Theoretische Physik

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Prof. Dr. R. Verch
UNIVERSITAT LEIPZIG
Dr. T.-P. Hack
Inst. f. Theoretische Physik
Sommersemester 2017
Übungen zur Quantenmechanik (12-PHY-BTP2)
Aufgabenblatt 10
Aufgabe 10.1 [Diese Aufgabe wird korrigiert und bewertet, Wert = 12 Punkte]
Betrachten Sie den Hamiltonoperator H eines Teilchens der Masse m in einem harmonischen
Oszillatorpotential in einer räumlichen Dimension, der im Hilbertraum H = L2 (R, dx) auf
D(H) = S(R) definiert ist durch
(Hψ)(x) = −
1
~ 2 d2
ψ(x) + Kx2 ψ(x) ,
2
2m dx
2
ψ ∈ S(R), x ∈ R .
Dabei ist K eine positive Konstante (der Dimension [Kraft/Länge]).
(i) Zeigen Sie, dass der Operator H symmetrisch und positiv ist.
(ii) Betrachten Sie folgende, für ψ ∈ S(R) definierte Operatoren:
d
(Aψ)(x) = √12 (αxψ(x) + α1 dx
ψ(x)) ,
(A† ψ)(x) = √12 (αxψ(x) −
√
mit α = ( mK/~)1/2 .
Weisen Sie folgende Eigenschaften dieser Operatoren nach:
1 d
ψ(x)) ,
α dx
(a) AA† − A† A = 1 auf S(R).
(b) H = ~ω0 ( 12 1 + A† A) mit ω0 =
p
K/m.
(c) Wenn ψλ Eigenvektor von H zum Eigenwert λ ist, so folgt: Aψλ ist Eigenvektor von H
zum Eigenwert λ − ~ω0 , und A† ψλ ist Eigenvektor von H zum Eigenwert λ + ~ω0 .
R
(d) (Aψ, ϕ) = (ψ, A† ϕ) für alle ψ, ϕ ∈ S(R), wobei (f, g) = R f (x)g(x) dx das Skalarprodukt von L2 (R, dx) ist.
(e) Zeigen Sie, dass aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation der niedrigste Eigenwert von H größer als 0 sein muss.
Hinweis: Der Hamiltonoperator H ist eine Summe von P 2 und X 2 mit geeigneten
Koeffizienten. Diese Größen erscheinen in den Varianzen von Orts- und Impulsoperator.
/...2
1
Aufgabe 10.2 [Diese Aufgabe wird korrigiert und bewertet, Wert = 12 Punkte]
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m bewege sich auf der reellen Achse unter dem
Einfluß des Potentials
(
−V0 /a falls −a/2 < x < a/2
V (x) :=
0
sonst ,
hierbei sind a, V0 vorgegebene positive Konstanten.
Skizzieren Sie V (x) für kleiner werdende a. Bestimmen Sie im Limes a → 0 einen gebundenen Zustand (d.h. einen normierten Eigenzustand) χE0 des Hamiltonoperators und den
zugehörigen Eigenwert E0 . Zeigen Sie dann, dass dieses χE0 die stationäre Schrödingergleichung
2 2
~ d
−
V
δ(x)
χE0 = E0 χE0
− 2m
0
dx2
erfüllt, wobei diese Gleichung im Sinne von Distributionen aufzufassen ist, d.h. in dem Sinne,
dass
~2
− 2m
(f 00 , χE0 )L2 − V0 f (0)χE0 (0) = E0 (f, χE0 )L2
für jedes f ∈ S(R) gilt.
Aufgabe 10.3
[wird nicht korrigiert]
Es sei H der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators in einer räumlichen Dimension.
(a) Zeigen Sie, dass für jedes β > 0 der Operator Rβ = e−βH ein Spurklasse-Operator ist (vgl.
Aufgabe 9.3).
(b) Für einen Hamiltonoperator mit einem Spektrum, das nur aus Eigenwerten En , n ∈ M ⊂ N0
mit normierten Eigenvektoren ψn besteht, bezeichnet man für T > 0 den Zustand
hAiT =
X e−En /kT
(ψn , Aψn )
Z(T )
(A ∈ B(H))
n∈M
als den Gibbs-Zustand, oder kanonisches Ensemble (thermischen Gleichgewichtszustand) des
Systems zur absoluten Temperator T . Dabei ist k die Boltzmannkonstante und
X
Z(T ) =
e−En /kT
n∈M
wird als Zustandssumme zur absoluten Temperatur T bezeichnet.
Zeigen Sie für den Fall des quantenmechanischen harmonischen Oszillators in einer Raumdimension, dass %T = Z(T )−1 R1/kT eine Dichtematrix ist und dass gilt:
hAiT = Tr(%T A)
(A ∈ B(H)) .
(c) Zeigen Sie, dass der Gibbs-Zustand sich unter der Zeitentwicklung des Systems nicht ändert.
(d) Zeigen Sie, dass
lim hAiT = (ψ0 , Aψ0 )
T →0
(A ∈ B(H))
gilt, wobei ψ0 der (bis auf Phase eindeutige) normierte Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert
von H ist.
Abgabe: Bis Do., 15.06.2017, vor der Vorlesung
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