N - TU Freiberg

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8. Der lineare harmonische Oszillator (1D)
klass.:
E
 =
x
2
 m 2
k 2
U = x =
x
2
2

k
= 2  f (Frequenz)
m
k = 2 m
m größer -> ω kleiner (deuterierte Moleküle)
gilt näherungsweise für alle Schwingungen, falls die Auslenkungen klein genug sind
(ähnliches Potential ≈ ähnliche Kraft)
U
H
z.B.
H kann in x-, y-, z-Richtung
schwingen
Alle 12 Atome: 3*12 Freiheitsgrade
3 Translationen + 3 Rotationen
-> 36 – 6 = 30 mögliche Schwingungen
(30 gekoppelte lineare näherungsweise harmonische Oszillatoren)
69
Quantenmechanik:
Wir suchen stationäre Zustände (also mögliche Energien) der stationären Schrödingergl.,
H n  x = E n n ist zu lösen
ℏ2 d 2
m 2 2
H n = −
 
x n = E n n
2m dx 2 n
2
 m/ℏ x
eingeführt:  =
0  = a 0 e
n  x = n 
−2
2
−2
2
1  = a1  e
⋅
⋅
⋅ −2
2
n
n  = e
[a 0 a 1 a 2  ...a n  ]
2
a j2
d n −y
H n = −1 e
ne
dy
2 j−n
=
a
 j1 j2 j
n  x ~ e
−m  2
x
2ℏ
Hermitesche Polynome Hn(y)
n
 
H n x⋅
m
ℏ
y
1
Energieeigenwerte E n = n  ℏ 
2
2
2
70
Statt Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung wählen wir eine geschickte
Lösungsmethode, bei der nur algebraische Gleichungen gelöst werden müssen.
Wir definieren zwei neue Operatoren A und A+, um den Hamiltonoperator auf eine
möglichst einfache mathematische Form zu bringen. Aus Gründen, die (hoffentlich)
später klar werden:
A =

m
x 
2ℏ
A*= A =

ip x
Vernichtungsoperator
2 ℏ m
m
x −
2ℏ
ip x
Erzeugungsoperator
 2 ℏ m
A ist keine Messgröße, da A ≠ A+ (nicht selbstadjungiert)
wir kennen [x, px] = i ħ , [x, x] = [px, px] = 0
+
[  ] [
] [
][
 ]
ip
−i p x
ip
m
m
m  −i p x
m
x,
x x
,

x,
 x
,
x
2ℏ
2ℏ
2
ℏ
2
ℏ
2 ℏ m  2 ℏ m 
2 ℏ m 2 ℏ m
−i
i
−i
−i
= [ x , p x ] [ p x , x]= [ x , p x ]= i ℏ=1
2ℏ
2ℏ
ℏ
ℏ
[A, A ] =
71
Wir drücken jetzt den Hamiltonoperator mit Hilfe der Operatoren A und A+ aus.
2
2
px
m 2
H =

x
2m
2

2ℏ 1
x=
 A A + 
m 2
−i
p x = 2 ℏ m 
 A− A + 
2
ℏ
x 2=
 A 2 AA + A + A A + 2 
2m 
1
p 2x =−ℏ m   A 2 − AA +− A + A A + 2 
2
A =

A =
Einsetzen in den Hamiltonoperator ergibt zusammen mit


m
x 
2ℏ
m
x −
2ℏ
+
ip x
 2 ℏ m
ip x
 2 ℏ m
+
+
[ A , A ]= A A − A A=1
ℏ 2
ℏ 2
ℏ
 A − AA+ − A + A A+ 2 
 A  AA + A + A A + 2=
2 AA+  A+ A
4
4
4
ℏ
1
=
 2 A + A1=ℏ  A+ A 
2
2
H = −
72
Durch die Umformungen haben wir das Problem der Lösung der zeitunabhängigen
Schrödingergleichung für den harmonischen Oszillator auf die Lösung eines
Eigenwertproblemes für einen neuen Operator zurück geführt.
+
N =A A
N ist hermitesch
Besetzungszahloperator
N+ = (A+A)+ = A+ (A+)+ = A+A = N
-> reelle Eigenwerte
N ∣n 〉 = n∣n 〉
∣n 〉 = n sei ein normierter Eigenzustand
 = A +∣n 〉
AA+ − A+ A = 1
N = A + A  A +∣n 〉= A + 1 A + A ∣n 〉= A + 1 N ∣n 〉=n1 A+∣n 〉= n1
also ist A+|n> = ζ ein Eigenzustand von N mit Eigenwert (n+1)
 _ = A ∣n 〉
N  _= A + A A∣n 〉= AA + −1 A∣n 〉= AA + A− A ∣n 〉= AN − A∣n 〉=
= A  N −1∣n 〉=n−1 A ∣n 〉= n−1  _
73
Genauso lässt sich zeigen, dass A∣n 〉 ein Eigenzustand von N mit Eigenwert n-1 ist.
Mit A+ klettert man von n um 1 zum Eigenwert n+1, mit A steigt man um 1 hinab.
Hochklettern ist kein Problem, wohl aber das Absteigen, da
+
〈n∣N∣n〉 = 〈n∣A A∣n〉 = 〈 A n∣ A n〉
n , N n  = n , A + A n  =  A n , A n  ≥ 0
kein Eigenwert von N darf negativ werden!
Der Ausweg: Es gibt einen Zustand ∣0 〉 = 0 , der von Aφ0 = 0 vernichtet wird.
φ0muss von Null verschieden sein (||φ0|| = 1).
Im Zustand φ0 hat N den kleinstmöglichsten Eigenwert n = 0.
1
1
+
H =ℏ  A A =ℏ  N  
2
2
Die Schwingung des harmonischen Oszillators im Zustand |n> besteht aus n Schwingungsquanten (Vibronen), die alle die Energie ћω besitzen. Der Hamiltonoperator H beschreibt
damit ein System solcher Schwingungsquanten gleicher Energie (ћω), bei dem sich
n ändern kann. Der Operator N fragt die Anzahl der Vibronen im Zustand |n> ab
(Besetzung).
Die Anwendung von A+ (A) auf den Zustand |n> erzeugt (vernichtet) ein Schwingungsquant.
74
Die Grundzustandswellenfunktion φ0(x) (Wellenfunktion des Vakuumzustandes |0> )
A 0  x = A ∣0 〉 = 0



m
ℏ d
x
 x  = 0
2ℏ
2m  dx 0
0  x  = c 0 e
−m  2
x
2ℏ

−m 
d
0  x  = c 0
x
dx
ℏ

ℏ m
=
2m  ℏ


e
−m  2
x
2ℏ
1 =
∫ dx
*
0
2
  x  0  x  = c 0 
−∞
q =

= ∣c0∣


0
∞
∫ dx
e
−m  2
x
ℏ
−∞
m
x
ℏ
2
−m 
x
ℏ
m
2ℏ
Normierung
∞

=
ℏ
m
dq =
∞

m
dx
ℏ
∫ dq e−q
−∞

2
c0 =

4
m
ℏ
75
Die übrigen Eigenfunktionen durch wiederholtes Anwenden von A+
1 =
⋅
⋅
⋅

  

m
1
d
−
0  =
d
ℏ
2

1
4
1
d
−
d
2

e
−
2
2

n
1
d
n =
−
0 
n
d

n ! 2
Hermitesche Polynome
Hn = e
n =

x2
2


n
d
x−
e
dx
1
n ! 2
n
 
m
ℏ
−
1
4
x2
2
e
d n −x
= −1 e
e
dx n
n
−2
2
H n 
x2
2
n = 0, 1, 2, . . .
76
Damit kennen wir die Eigenwerte, die Eigenvektoren von N = A+A können wir
konstruieren durch
1 = A + 0
⋅
⋅
⋅
1
n =
 A+ n 0
n !
 n1 ∣n1 〉
A∣n 〉 =
 n ∣n−1 〉
diskret, nicht entartet mit
äquidistantem Abstand ћω
(da wir von n = 0 starten und
1
E n = ℏ n 
2
E0 =
A +∣n 〉 =
immer +1 dazugeben
n = positive ganze Zahl)
1
ℏ
2
Nullpunktsenergie
1
E0 = ℏ 
2
unmöglich
 x  px =
ℏ
2
77
Die berechneten Eigenfunktionen φn haben genau n Nullstellen.
IR-Absorption zwischen Zuständen verschiedener Parität (Dipolauswahlregeln)
~ 〈n∣x∣m 〉 =
∫ *n x m dx
Integral mit symmetrischen Grenzen von einer
ungeraden Funktion ergibt Null.
n=0 -> n=1 starker Übergang
n=0 -> n=2 verboten (gleiche Parität)
n=0 -> n=3 möglich, aber schwächer als Übergang nach n=1
78
Bedeutung des harmonischen Oszillators für die Physik
Jedes schwingungsfähige System (Moleküle, Festkörper) ist näherungsweise ein System
gekoppelter harmonischer Oszillatoren. Durch Transformation in „Normalkoordinaten“
kann man immer ein System ungekoppelter harmonischer Oszillatoren erhalten.
Nullpunktsenergien sind immer vorhanden und können die Stabilität beeinflussen
(Verringerung der Bindungsenergie), sie tragen zur Gesamtenergie und damit auch zur
Bindungsentalphie bei.
technische Nutzung z.B. in Isotopenfraktionierung
13
C reichert sich in anorganischen Verbindungen weniger an, als in Verbindungen
biogenen Ursprunges.
Bestätigung der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
Die Quantisierung von Feldern in der Quantenelektrodynamik beruht auf Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren, und damit auf den Eigenschaften des harmonischen
Oszillators.
79
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