(Quantenmechanik I) SS 07 Blatt 4, 10 Punkte

Übungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik I) SS 07
Blatt 4, 10 Punkte
PD Dr. habil. Stefan Kettemann, Dipl. Phys. Roman Kogler,
Dipl. Phys. Marcel Kossow, Dr. Kelly Patton, Dipl-Phys. Björn Vogt
http://www.physnet.uni-hamburg.de/hp/kettemann/qm/qm.html
Aufgabe 1: Etwas Operatorkalkül (2 Punkte)
Es sei p̂ der Impulsoperator, x̂ der Ortsoperator und f (x̂) bzw. f (p̂) eine in x̂ bzw. p̂ formal glatte Funktion
(f (x) bzw. f (p) ∈ C ∞ (R) als Symbol von f (x̂) bzw. f (p̂)). Berechnen Sie folgende Kommutatoren:
a) (1/2 P) [p̂, x̂n ].
b) (1/2 P) [x̂, p̂n ].
c) (1/2 P) [p̂, f (x̂)].
d) (1/2 P) [x̂, f (p̂)].
Aufgabe 2: Translationsoperator (3/2 Punkte)
Zeigen Sie, dass wenn |xi Eigenzustand zu x̂ mit Eigenwert x ist, so ist auch
|ψi = ei
p̂a
~
|xi
Eigenzustand zu x̂. Hinweis: Berechnen Sie den Eigenwert von x̂ zu |ψi!
Aufgabe 3: Näherungweise Bestimmung von Eigenwerten (7/2 Punkte)
Vor der Entdeckung der Schrödingergleichung dienten phänomenologische Gleichungen wie das Bohrsche
Postulat und die Sommerfeldbedingung zur Bestimmung der Energieeigenwerte von gebundenen Zuständen.
a) Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie durch Minimierung der Energie:
(i) (1/2P) eines harmonischen Oszillators (V (x) = 1/2mω 2x2 ).
(ii) (1/2P) eines Quantenballs (V (x) = mgx, x > 0, g = const.).
2
(iii) (1/2P) eines Elektrons im Bohr-Atom (V (r) = − Zer ).
Nehmen Sie minimale Unschärfe an und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem exakten Resultat (z.B.
(ii) E0lit. = 1, 842 · (~2 mg 2 )1/3 )!
b) (2P) Benutzen Sie nun die (Sommerfeld-) Quantisierungsbedingung
I
p
dx p(x) = n + 21 h , n = 0, 1, 2, . . . mit p(x) = 2m(E − V (x)),
um alle Energieniveaus (n = 0, 1, 2, . . . ) in (i) und (ii) abzuschätzen! Hinweis: Seien xM und −xM die
Umkehrpunkte, dann gilt
I
Z xM
dx .
dx =⇒ 2
−xM
2
Aufgabe 4: Doppelmuldenpotential (3 Punkte)
Bestimmen Sie die Eigenenergie und Eigenzustände der untersten beiden Zustände eines Doppelmuldenpotentials indem Sie annnehmen, das Teilchen kann entweder in der linken Mulde sein, im Zustand |Li oder in
der rechten Mulde, im Zustand |Ri. Das heisst:
x̂ |Li = xL |Li
und x̂ |Ri = xR |Ri .
Der Potenialunterschied sei dann ∆ und die Tunnelrate Γ sei bekannt.
a) (1P) Formulieren Sie den Hamiltonoperator H in der Darstellung (Basis) von {|Li , |Ri}!
b) (1P) Diagonalisieren Sie den Hamiltonoperator H aus Teil a).
c) (1P) Berechnen Sie die Eigenzustände |ψi von H und diskutieren Sie den Fall ∆ = 0! Hinweis:
Verwenden Sie die Normierung |ψR |2 + |ψL |2 = 1 für die Wellenfunktion ψ = (ψR , ψL ).
V (x)
L
R
PSfrag replacements
xL
xR
x
∆