Blatt 6 –¨Ubungen zur Physik IV SS 13 - Delta

Fakultät Physik, Technische Universität Dortmund
Prof. G. Hiller, Prof. T. Weis
Blatt 6 – Übungen zur Physik IV
SS 13
Abgabe bis Freitag, den 17. Mai 2013, 9:00 Uhr
Aufgabe 1: “Vereinfachte Baker-Campbell-Hausdorff-Formel” (3 Punkte)
Zeigen Sie für die Opertoren X und Y die Identität
eX+Y = e−[X,Y ]/2 eX eY
(1)
unter der Voraussetzung, dass der Kommutator [X, Y ] ≡ XY − Y X eine (i.A. komplexe) Zahl ist. Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst dass in diesem Fall [X, [X, Y ]] =
[Y, [X, Y ]] = 0 gilt.
Aufgabe 2: “Kohärente Zustände” (7 Punkte)
Für den harmonischen Oszillator existieren Zustände, für die die physikalischen Voraussagen der Quantenmechanik mit denen der klassischen Mechanik praktisch identisch sind. Diese Zustände werden kohärente Zustände genannt. Sie werden durch
Anwendung des sogenannten Verschiebungsoperators D(γ), γ ∈
auf den Zustand
|n > konstruiert. Es gilt
C
† −γ ∗ a
D(γ) = eγa
.
(2)
Eigenschaften
der Leiteroperatoren:
√
√
a† |n >= n + 1|n + 1 >, a|n >= n|n − 1 >.
a) Zeigen Sie, dass die vereinfachte Baker-Campbell-Hausdorff-Formel Gl. (1) aus
Aufgabe 1 benutzt werden kann und daher ebenfalls gilt:
D(γ) = e−|γ|
2 /2
†
∗
eγa e−γ a .
(3)
b) Zeigen Sie, dass D(γ) unitär ist.
c) Es gilt ausserdem
D † (γ)aD(γ) = a + γ,
(4)
D † (γ)a† D(γ) = a† + γ ∗ .
(5)
Zeigen Sie damit, dass |γ >≡ D(γ)|0 > ein Eigenzustand zum Absteigeoperator
a ist. Besitzt a† auch einen Eigenzustand (Begründung)?
d) Schreiben Sie |γ > explizit als Linearkombination der Zustände |n >. Setzen Sie
die Zeitentwicklung für jedes dieser |n > an, um |γ(t) > zu erhalten. Berechnen
Sie damit die Erwartungswerte < γ(t)|x̂|γ(t) > und < γ(t)|p̂|γ(t) >. Vergleichen
Sie mit dem Ergebnis eines klassischen harmonischen Oszillators. Die Operatoren
sind durch die Leiteroperatoren folgendermaßen gegeben:
1
Ĥ = ~ω(a†a + ),
2
r
~
(a† + a),
x̂ =
2mω
r
~mω †
p̂ = i
(a − a).
2
(6)
(7)
(8)
Aufgabe 3: “Molekülschwingungen” (7 Punkte)
L
Diese Aufgabe behandelt ein einfaches Modell von
Schwingungen des Ammoniakmoleküls. Ein Teilchen
der Masse m und der Energie E bewege sich in einem
unendlich tiefen Potentialtopf mit kastenförmiger Barriere der Höhe V0 und Breite b, siehe Figur.
M
R
V0
a
b
a
a) Skizzieren Sie einen symmetrischen ΨS und asymmetrischen ΨA Bindungszustand in diesem Potential. Wie sehen die Linearkombinationen ΨS ± ΨA aus?
b) Stellen Sie einen Lösungsansatz Ψ der zeitunabhängigen Schrödingergleichung in
jedem der drei Gebiete links, rechts und mittig (L, R, M) für E < V0 auf.
Hinweise: Nutzen Sie die Randbedingungen für ΨL,R an den äußeren Pottentialwänden aus. Im mittleren Gebiet finden keine Oszillationen statt. Bilden Sie hier eine symmetrische und asymmetrische Lösung ΨS,A
M mit Hilfe von
±z
e = cosh z ± sinh z.
c) An den jeweiligen Grenzen L und R mit M muss die Gesamtwellenfunktion stetig und einmal stetig differenzierbar
√ sein. Dies liefert jeweils eine transzendente
Gleichung für die Wellenzahl k = 2mE~ für den symmetrischen und asymmetrischen Fall. Wie lauten diese?
p
2m (V0 − E)/~ ≃
d) Entwickeln
Sie
die
Gleichung
aus
c)
für
E
≫
V
,
d.h.
K
≡
0
√
2mV0 /~ und Kb ≪ 1. Schreiben Sie diese in der Form tan(akS,A ) =
−akS,A XS,A . Wie lauten die Konstanten XS,A ?
Hilfsformeln: coth z ≃ 1 + 2e−2z und tanh z ≃ 1 − 2e−2z für z ≫ 1.
e) Lösen Sie die Gleichung aus d) grafisch. Was können Sie über die relative Größe
von kS und kA sagen?
f) Ein Teilchen befinde sich zur Zeit t = 0 in einem der beiden äußeren Gebiete
Ψ(x, t = 0) = A [ΨA (x) + ΨS (x)]
Wie lautet Ψ(x, t)?
(9)
Als Energieniveaus treten ES und EA auf. Die Energiedifferenz zwischen den
beiden Niveaus ES,A sei 10−4 eV. Mit welcher Frequenz oszilliert das Stickstoff–
atom hin und her? Was erwarten sie klassisch? Hinweis: |Ψ(x, t)Ψ∗ (x, t)| muss
normiert sein. Die einzelnen Lösungen ΨS,A sind orthonormal.
Aufgabe 4: “Ehrenfestsches Theorem” (3 Punkte)
Berechnen Sie die zeitliche Ableitung des Impulserwartungswertes dtd hpi für eine beliebige Wellenfunktion Ψ(x, t), welche
dV der Schrödingergleichung mit Potential V (x)
d
genügt. Zeigen Sie, dass dt hpi = − dx ist.
Webseite zur Vorlesung:
http://www.delta.tu-dortmund.de/cms/de/Studium/Vorlesungen/SS13-PhysikIV/index.html