Universität Potsdam Vorlesung Theoretische Physik II (LA) M. Rosenblum Institut für Physik SS 2017 Übung 7 : Wellenfunktionen und Operatoren (Besprechung am 04.07.2017) Aufgabe 7.1 Ein harmonischer Oszillator befindet sich im Grundzustand. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen außerhalb des klassich erlaubten Bereichs zu finden? Hinweis: Drücken Sie das Integral mit der sogenannten Fehlerfunktion aus. Aufgabe 7.2 Zeigen Sie, dass wenn Dder Operator ist, d.h.Dfür alle E D Q̂ hermitesch E E Funktionen D E h im Hilbert-Raum gilt h|Q̂h = Q̂h|h , dann gilt auch f |Q̂g = Q̂f |g für beliebige Funktionen f , g im Hilbert-Raum. Hinweis: Wählen Sie zuerst h = f + g, und danach h = f + ig. Aufgabe 7.3 Es seien  und B̂ hermitesche Operatoren und α eine komplexe Zahl. 1. Zeigen Sie, dass  + B̂ hermitesch ist. 2. Für welche α ist α hermitesch? 3. Wann ist ÂB̂ hermitesch? 4. Zeigen Sie, dass der Operator V (x̂) für eine beliebige reelle Funktion V (x), der Impulsoperator p̂ und der Hamilton-Operator Ĥ hermitesch sind. Aufgabe 7.4 1. Zeigen Sie, dass [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂. 2. Zeigen Sie, dass für alle Funktionen f gilt [f, p̂] = i~ df . dx Zusatzaufgabe 7.5 (+20%) Zustände mit unterschiedlichen Wellenfunktionen und gleicher Energie heißen entartete Zustände. Beweisen Sie, dass es in einer Dimension bei einem endlichen Potential keine entarteten gebundenen Zustände gibt. Hinweise zu 7.5: 1. Nehmen Sie an, es gibt zwei Lösungen ψ1 , ψ2 mit der Energie E. 2. Multiplizieren Sie die Schrödinger Gleichung für ψ1 mit ψ2 und die Gleichung für ψ2 mit ψ1 . Dann subtrahieren Sie diese zwei Gleichungen. 2 1 − ψ1 dψ = K = const. 3. Zeigen Sie, dass ψ2 dψ dx dx 4. Gebundene Zustände sind normierbar. Diskutieren Sie, dass daraus folgt, dass K = 0 ist. 5. Zeigen Sie, dass ψ2 = const · ψ1 , woraus folgt, dass ψ1,2 denselben Zustand beschreiben. Veranstaltungshinweise der Fachschaft Physik: Institutsfest Mathematik — 28.06. — 18 Uhr Institutsfest Physik — 19.07.