UNIVERSIT¨AT DES SAARLANDES D

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UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
THEORETISCHE PHYSIK
Professor Dr. Manfred Lücke
D-66041 Saarbrücken
08. Januar 2004
WS 2003
ÜBUNGSAUFGABEN ZUR VORLESUNG THEORETISCHE PHYSIK III“
”
Übungsblatt 10
31. Streuung am r−2 –Potential
Teilchen der Energie ~2 k 2 /2m werden am Potential V (r) = A/r2 gestreut.
a) Schreiben Sie die Gleichung für die Radialfunktion R in die Form
2
λ(λ + 1)
2
∂ρ + ∂ρ + 1 −
R(ρ) = 0 ,
ρ
ρ2
wobei ρ = kr und λ(λ + 1) = `(` + 1) + 2mA/~2 .
b) Man bestimme den Index p der Besselfunktion Jp (ρ), die in die Lösung
r
π
R(ρ) =
Jp (ρ)
2ρ
eingeht. Für ρ → ∞ gilt
r
Jp (ρ) =
2
π
1
cos(ρ−? −?) + O
.
πρ
2
ρ
Konsultieren Sie ein Nachschlagewerk, um die Fragezeichen zu eliminieren.
c) Aus dem Vergleich mit dem allgemeinen, in der Vorlesung angegebenen asymptotischen Verhalten
R(ρ → ∞) ∼
π
1
sin(ρ − ` + δ` )
ρ
2
bestimme man die Streuphase δ` .
d) Man zeige: Falls das Potential der Bedingung 2mA/~2 1 (A > 0) genügt,
so ist | δ` P
| 1 . Für diesen Fall berechne man die Streuamplitude f (k, θ) .
−1 θ
Hinweis: ∞
`=0 P` (cos θ) = sin ( 2 )
e) Geben Sie den differentiellen Streuquerschnitt an und diskutieren Sie ihn.
f) Wie groß ist der totale Wirkungsquerschnitt?
32 Quantenmechanik an Spinsystemen
In einem zweidimensionalen Ket-Raum mit normierten Basisvektoren (| +i, | −i)
sei ein hermitischer Operator M definiert durch
M | +i = | +i
M | −i = − | −i
h+ | −i = 0 .
a) Wie lautet M in der Basis | +i | −i ?
(1)
b) Es werden neue Zustände definiert durch
1
| 1i = √ (| +i + i | −i)
2
1
| 2i = √ (| +i − i | −i) .
2
(2)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für M = +1, M = −1 jeweils in den beiden
Zuständen | 1i bzw. | 2i ?
c) Zeigen Sie, daß | 1i und | 2i orthonormal sind. Daher sollte es eine unitäre
Matrix U geben, die (| +i, | −i) in (| 1i, | 2i) überführt. Geben Sie U an. In
welche Matrix N wird M durch U transformiert?
d) Wie lautet die allgemeinste hermitische 2 × 2-Matrix, für die | 1i und | 2i
Eigenzustände sind?
e) Sind die beiden Zustände
√
1
| ai = √ (| +i + i 2 | −i)
3
√
1
| bi = √ (| +i − i 2 | −i)
3
(3)
orthonormal? Was sind die Wahrscheinlichkeiten für M = ±1 in den beiden
Zuständen? Was ergibt sich für die Erwartungswerte von N in | ai bzw | bi?
33. Pauli-Matrizen
σx =
0 1
1 0
;
σy =
0 −i
i 0
;
σz =
1 0
0 −1
a) Zeigen Sie
(1) Die Pauli-Matrizen sind hermitesch mit Eigenwerten ±1 .
(2) σx σy σz = i · 1 P
(3) σα σβ = δαβ 1 + i 3γ=1 αβγ σγ
(4) σα σβ + σβ σα = 2δαβ · 1
(5) [σα , σβ ] = 2iσγ , wobei α, β, γ eine zyklische Permutation von (x, y, z) ist.
b) Drücken Sie die auf 1 normierten Eigenvektoren von σx und σy durch die von
σz aus.
c) Zeigen Sie, daß jede 2x2 Matrix M dargestellt werden kann als
M = a0 · 1 + a · σ
mit σ = (σx , σy , σz ) und a = (ax , ay , az ) , wobei a0 , ax , ay , az ∈ C
I . Zeigen Sie
weiter: a0 = 21 SpM und a = 12 Sp(M · σ) .
d) Beweisen Sie
(σ · a)(σ · b) = a · b · 1 + iσ · (a × b)
für Vektoren a, b.
e) Mit d) zeige man für ϕ = ϕ · n (n = Einheitsvektor)
ϕ
ϕ
1
− i(σ · n) sin
.
R(ϕ) = e−i 2 σ ·ϕ = 1 · cos
2
2
Abgabetermin:
Ort:
Freitag, 16. Januar 2004, 12.oo Uhr
Briefkasten Prof. Lücke
Bau 38, EG (neben den Fahrstühlen)
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