Prof. Dr. Werner Vogelsang, Dr. Valery Lyubovitskij

Prof. Dr. Werner Vogelsang, Dr. Valery Lyubovitskij
Institut für Theoretische Physik, Universität Tübingen
Aufgaben zur Quantenmechanik I - SoSe 2010 - Blatt 9
Für die Übungen in der Woche vom 28.06.-02.07.2010
Aufgabe 31 :
Wie in der Vorlesung gezeigt, ist der radiale kinetische Anteil des Hamilton-Operators gegeben durch
p̂2r
h̄2 1 ∂ 2
= −
r.
2m
2m r ∂r2
(a) Zeigen Sie, dass gilt
h̄
p̂r =
i
1
∂
+
∂r r
.
(b) Zeigen Sie, dass p̂r hermitesch ist. Betrachten Sie dazu den Ausdruck
Z
∞
0
dr r2 ϕ∗ (r) p̂r ψ(r) .
(c) Aus (b) folgt, dass Erwartungswerte von p̂r reell sind, hψ|p̂r |ψi − hψ|p̂r |ψi∗ = 0. Benutzen Sie
dies, um zu zeigen, dass rψ(r) für r → 0 verschwinden muss.
Aufgabe 32 :
Wir betrachten den Hamiltonoperator eines dreidimensionalen sphärisch symmetrischen harmonischen
Oszillators:
Ĥ =
3
3
X
1
1
1
1 X
x̂2i .
p̂i2 + mω 2
(p̂x2 + p̂y2 + p̂z2 ) + mω 2 (x̂2 + ŷ 2 + ẑ 2 ) =
2m
2
2m i=1
2
i=1
In Analogie zum eindimensionalen Fall führen wir Auf- und Absteigeoperatoren
b̂†i
i
1 √
p̂i
mω x̂i − √
=√
mω
2h̄
1 √
i
und b̂i = √
p̂i
mω x̂i + √
mω
2h̄
für die Oszillationen in den drei Raumrichtungen 1,2,3 (= x, y, z) ein. Es gilt: [b̂i , b̂j ] = [b̂†i , b̂†j ] = 0,
[b̂i , b̂†j ] = δij , und Ĥ = h̄ω
(a) Zeigen Sie, dass
3
P
i=1
(b̂†i b̂i + 1/2).
|nx ny nz i ≡ p
1
(b† )nx (b†y )ny (b†z )nz |000i
nx !ny !nz ! x
Eigenzustände zu Ĥ sind. Dabei ist der Grundzustand |000i definiert durch bi |000i = 0 für
i = 1, 2, 3. Welche Eigenwerte gehören zu diesen Zuständen ?
1
(b) Bestimmen Sie den Entartungsgrad der Energieeigenwerte.
ˆ~ durch die b̂i und
~ˆ = ~ˆr × p
(c) Drücken Sie die kartesischen Komponenten des Drehimpulsoperators L
2
~ˆ .
b̂†j aus. Im Folgenden soll stets diese Darstellung der L̂i verwendet werden. Berechnen Sie L
(d) Verifizieren Sie, dass [L̂i , L̂j ] = ih̄L̂k , wobei die i, j, k zyklisch über 1,2,3 (= x, y, z) laufen.
2
~ˆ , Ĥ] = 0.
(e) Zeigen Sie, dass [L̂i , Ĥ] = 0 und [L
2
~ˆ und L̂z ist.
(f ) Zeigen Sie, dass der Zustand |000i ein Eigenzustand zu L
2
~ˆ und L̂z .
(g) Konstruieren Sie aus den Zuständen mit nx +ny +nz = 1 gemeinsame Eigenzustände zu L
Aufgabe 33 :
Der harmonische Oszillator aus Aufgabe 32 wird nun im Ortsraum in Kugelkoordinaten behandelt.
Wie bei der Behandlung des Wasserstoffatoms setzen wir R(r) = u(r)/r für den Radialanteil der
Wellenfunktion.
(a) Zeigen Sie, dass sich die zugehörige Radialgleichung auf
"
#
d2
ℓ(ℓ + 1)
−
− ρ2 + 2ǫ v(ρ) = 0
2
dρ
ρ2
reduziert, wobei:
r
ρ=
,
r0
r0 =
s
h̄
,
mω
ǫ=
E
,
h̄ω
v(ρ) = u(ρr0 ) .
(b) Wir spalten nun das asymptotische Verhalten für ρ → ∞ ab und setzen
v(ρ) = w(ρ) e−ρ
2 /2
.
Bestimmen Sie die resultierende Differentialgleichung für w(ρ).
(c) Machen Sie nun den Potenzreihenansatz
w(ρ) = ρ
ℓ+1
∞
X
ck ρ2k .
k=0
Bestimmen Sie die möglichen Energieeigenwerte aus der Bedingung, dass die Lösungen normierbar sein müssen.
2