Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Prof. Dr. Ludger Santen
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Übungen zur Theoretischen Physik IV (Statistische Mechanik)
SS 2008, Blatt 10
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1. Aufgabe: Ising Modell in einer Dimension
14 Punkte (4+6+4)
Der Hamiltonoperator des eindimensionalen Ising-Modells lautet
H = −J
N
X
σi σi+1 + B
i=1
N
X
σi
(1)
i=1
mit den N Ising-Spins σi = ±1, der Kopplungskonstanten J und dem magnetischen Feld
B. Wir wählen periodische Randbedingungen, so dass σN +1 mit σ1 identifiziert wird.
a) Bei der Zustandssumme wird über alle Konfigurationen der Spins {σi }i=1,...,N summiert.
Zeigen Sie, dass man die kanonische Zustandssumme in der Form
X
Zk =
(T N )σ1 ,σ1 = Spur(T N )
(2)
σ1 =±1
schreiben kann, mit der Transfermatrix
µ j−b −j ¶
0
0
e
e
T =
→ Tσ,σ0 = ejσσ −b/2(σ+σ )
−j
j+b
e
e
mit j := J/kB T, b := B/kB T .
(3)
Hierbei entspricht σ = +1 dem Index 1, σ = −1 dem Index 2 der Komponentennotation
von T .
Hinweis: Schreiben Sie das Matrix-Produkt in den Komponenten aus.
b) Berechnen Sie die Zustandssumme, indem Sie sie durch die Eigenwerte λ1 , λ2 von
T ausdrücken. Begründen Sie, dass für N → ∞ der Beitrag des kleineren der beiden
Eigenwerte zur Freien Energie verschwindet.
Hinweis: Die Spur einer Matrix ist invariant unter Basistransformation.
c) Wie kann man durch partielle Ableitung der Freien Energie die Magnetisierung M :=
hσi i und den Erwartungswert der Wechselwirkungsenergie hJ σi σi+1 i in Abhängigkeit von
j und b bestimmen? Kann es in dem System Phasenübergänge bei Variation von j und b
für endliche Temperaturen T > 0 geben?
2. Aufgabe: Detaillierte Bilanz
4 Punkte
Für das stationäre Gewicht ρ∗ eines ergodischen stochastischen Systems gelte für alle
Zustände α und β die Detaillierte-Bilanz -Bedingung:
Pβ←α ρ∗α = Pα←β ρ∗β .
1
(4)
Hier ist Pj←i die Rate für Übergänge vom Zustand i zum Zustand j. Wir betrachten
nun drei Zustände α, β und γ in einem ergodischen System. Zeigen Sie, indem Sie die ρ∗i
eliminieren, dass die Existenz einer stationären Verteilung und Übergangsraten, die die
Detaillierte-Bilanz-Bedingung erfüllen, gleichbedeutend damit ist, dass für alle Zustände
α, β, γ gilt:
Pα←β Pβ←γ Pγ←α = Pα←γ Pγ←β Pβ←α ,
(5)
wobei wir voraussetzen, dass die Übergangsraten jeweils verschieden von Null sind.
3. Aufgabe: Metropolis Algorithmus
5 Punkte (4+1)
Wir betrachten den Metropolis-Algorithmus zur Simulation des Ising-Modells:
1. Wähle einen Spin zufällig aus.
2. Berechne die Energie ∆E, welche für eine Spinumkehr nötig wäre.
3. Falls ∆E < 0 kehre den Spin um; falls ∆E > 0 kehre ihn mit Wahrscheinlichkeit
e−∆E/T um.
a) Zeigen Sie, dass der Algorithmus Detaillierte Bilanz erfüllt, indem Sie die Boltzmanndichte als Gleichgewicht ansetzen, und begründen Sie, dass er ergodisch ist. Damit entwickelt sich das System unter diesem Algorithmus zu einem Gleichgewichtszustand.
b) Ist der Metropolis-Algorithmus schneller als der Heat-Bath-Algorithmus?
Hinweis: Der Effizienzunterschied der beiden Algorithmen liegt in der Anzahl der erzeugten Zufallszahlen.
4. Aufgabe: Warten auf Markov
9 Punkte (2+5+2)
Wir betrachten folgenden stochastischen Prozess: Eine Münze wird solange geworfen bis
”Zahl” kommt, dann endet das Münzwerfen. Wir bezeichnen die beiden Zustände des
Systems als A, solange noch keine “Zahl” gefallen ist, und B, falls “Zahl” bereits gefallen
ist und das Spiel geendet hat. Der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem n-ten Wurf kann
dann geschrieben werden als ρ(n) = (ρA (n), ρB (n)), wobei ρi (n), i = A, B , jeweils die
Wahrscheinlichkeit ist, das System im Zustand A bzw. B zu finden.
a) Begründen Sie, dass man die Zeitentwicklung des Systems durch ρ(n + 1) = P ρ(n)
mit der Matrix
µ
¶
1/2 0
P=
(6)
1/2 1
schreiben kann.
b) Finden Sie die Eigenwerte und rechten Eigenvektoren von P. Berücksichtigen Sie dabei,
dass es sich um Wahrscheinlichkeitsverteilungen handelt! Welcher Eigenvektor ist der
stationäre Zustand ρ∗ ? Den anderen nennen wir ρ̃.
c) Wir können einen Anfangszustand schreiben durch ρ0 = Aρ∗ + B ρ̃. Welche Bedingungen müssen für A und B gelten, damit ρ0 eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist?
Schreiben Sie ρ(n) als Funktion von A, B, ρ∗ und ρ̃.
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