Lösung

15. Februar 2016
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 14
14.1: (T) Spin-Orbit Kopplung
Motivation: Die relativistische Beschreibung des Wasserstoffatoms mittels der Diracgleichungen
liefert Korrekturen zum nicht-relativistischen Hamiltonian H0 . Einer der wichtigeren Beiträge
ist die sogenannte Spin-Orbit Kopplung, welche als die Wechselwirkung zwischen des Spins S
eines Elektrons mit dem magnetischen Feld welches von seiner Bewegung erzeugt wird.
Die Formel zur Beschreibung der Spin-Orbit Kopplung ist:
HLS =
e2
1
e2
1 X
L̂
·
Ŝ
=
L̂i ⊗ Ŝi
2me c2 4π0 r3
2me c2 4π0 r3 i=x,y,z
Dieser Term kan als Störung des Hamiltonian H0 aufgefasst werden.
(a) Der Gesamtdrehimpulsoperator sei wie in der Vorlesung definiert als Jˆ = L̂ + Ŝ = L̂ ⊗
1 + 1 ⊗ Ŝ. Zeige, dass Jˆ2 sowohl mit H0 als auch mit HLS kommutiert.
Da L̂ und Ŝ Drehimpulsoperatoren sind, gilt [L̂2 , L̂i ] = [Ŝ 2 , Ŝi ] = 0. Aus der Definition
der Vorlesung ist bekannt, dass:
H0 = ĥz ⊗ 1
Weiterhin folgt aus der Rotationssymmetrie des Hamilonian, dass [L̂i , ĥz ] = [L̂2 , ĥz ] = 0.
Diese Kommutationseigenschaften zusammen mit
X
Jˆ 2 = L̂2 ⊗ 1 + 2
L̂i ⊗ Ŝi + 1 ⊗ Ŝ 2
i
und dem Fakt, dass
[a ⊗ b, c ⊗ d] = a ⊗ b · c ⊗ d − c ⊗ d · a ⊗ b = ac ⊗ bd − ca ⊗ db = [a, c] ⊗ [b, d]
liefern die gewünschten Kommutatoren.
(b) Bestimme die Eigenzustände von Jˆ2 und Jˆz (mit Notation |j, mi) für den Unterraum der
Zustände mit l = 1 (Spin s = 21 ) als Linearkombination von |ml , ms i = |l = 1, ml i ⊗ |s =
1
, ms i Zustände.
2
X
|j, mi =
c(ml , ms ; j, m)|ml , ms i.
ml ,ms
Die c Koeffizienten sind die sogenannten Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Tipp: Starte bei j = 23 , m = 23 und benutze den Leiteroperator Jˆ− = Jˆx − iJˆy für welchen
die Formel
p
Jˆ− |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m − 1)|j, m − 1i.
1
bekannt ist.
Trivialerweise ist
1
3 3
,
= 1,
,
2 2
2
J
da ml + ms = mj sein muss und die Zustände normiert sein muss. Aus
r
√ 3 1
3 3
15 3 3 1
ˆ
J− ,
=~
− ,
= ~ 3 ,
2 2 J
4
4 2 2 J
2 2 J
Folgt
3 1
1 ˆ 3 3
,
= √ J− ,
2 2
2 2 J
~ 3
J
und da Jˆ− = L̂− ⊗ 1 + 1 ⊗ Ŝ− gilt
√ 1
1
1
1
1
= L̂− ⊗ 1 1,
+ 1 ⊗ Ŝ− 1,
= ~ 2 0,
+ ~ 1, −
Jˆ− 1,
2
2
2
2
2
und daraus folgt
r r 3 1
1
1
2
1 ,
=
0,
1, −
+
2 2
3 2
3
2
J
der andere mögliche Zustand lässt sich dann über Orhtogonalisirung konstruieren. (Hierbei ist Konventionshalber der Koeffizent vom größten ml positiv.)
r r 1
1 1
1
1
2 ,
=−
0,
1, −
+
2 2
3 2
3
2
J
Systematische Wiederholung dieser Prozedur liefert schließlich
r r 3 1
1
1
2
1
,−
0, −
−1,
=
+
2 2
3
2
3
2
J
r r 1 1
1
1
2
1
,−
0, −
−1,
=
−
2 2
3
2
3
2
J
3 3
1
,−
= −1, −
2 2
2
J
14.2: (T) Clebsch-Gordan-Koeffizienten: Tabellen
Diese kleine technische Übung soll Ihnen einen etwas konkreteren Eindruck von der Form der
Drehimpulseigenfunktionen zusammengestzter Systeme vermitteln.
(a) Welche Eigenschaft haben alle Zeilen und Spalten der Clebsch-Gordan-Koeffiziententabellen?
Warum haben sie diese Eigenschaft?
Summe der quadrierten Spalten- bzw. Zeilenelemente muss 1 ergeben.
2
(b) Benutze die Clebsch-Gordan Tabelle um die Zustände |j, m = 0i eines L = 1, S = 1
Systems zu bestimmen, das aus |ml , ms i = |l = 1, ml i ⊗ |s = 1, ms i zusammengesetzt ist.
r
r
r
1
2
1
|2, 0iJ =
| + 1, −1i +
|0, 0i +
| − 1, +1i
6
3
6
r
r
1
1
|1, 0iJ =
| + 1, −1i −
| − 1, +1i
2
2
r
r
r
1
1
1
|0, 0iJ =
| + 1, −1i −
|0, 0i +
| − 1, +1i
3
3
3
(c) Benutze die Clebsch-Gordon Tabelle um die Zustände |ml = 2, ms i eines L = 2, S = 1
Systems als Linearkombination von |j, m, L, SiJ Zuständen auszudrücken.
|2, 1i = |3, 3iJ
r
r
1
2
|3, 2iJ −
|2, 2iJ
|2, 0i =
3
3
r
r
r
1
1
3
|2, −1i =
|3, 1iJ −
|2, 1iJ +
|1, 1iJ
15
3
5
14.3: (Z) Erzeugung von Drehungen um beliebige Achsen
Wir hatten die Operatoren Ŝx , Ŝy , Ŝz als die Erzeuger von Drehungen im die jeweiligen Achsen
definiert. Zeige, dass der Operator Ŝâ := αx Ŝx + αy Ŝy + αz Ŝz mit |â| = 1 Drehungen um die
Achse â erzeugt.
Hinweis: das kann man natürlich mühsam ausrechnen. Der richtige Weg ist, die Form daraus
zu erschliessen, dass der Operator Ŝâ von der Wahl der Koordinatenachsen unabhängig sein
muss.
Falls α̂ = x̂ währe, wäre die Aussage trivial. Da man aber immer die Koordinatenachsen so
legen kann reduziert sich das Problem auf der Koordinatentransformation von einem Koordinatensystem |αi, in welchem α̂ = x̂ auf einen bezüglich welchen die Erzeuger der Drehungen
gegeben sind |ri.
Wir brauchen also als allererstes ein Drehung Rα von dem einen System in das andere, welche
x̂ 7→ α̂ abbildet. Die anderen zwei Koordinaten können wilkürlich ausgewählt werden wobei es
weiterhin ein normiertes Rechtssystem bilden soll, sodass es sichergestellt wird, dass wie eine
Drehung definieren. Die einfachste Weise dies zu machen ist über
ŷ 7→
x̂ × α̂
|x̂ × α̂|
ẑ 7→
α̂ × (x̂ × α̂)
|α̂ × (x̂ × α̂)|
Im Ortsraum |ri reduziert sich diese Transformation auf eine Matrixmultiplikation mit


αx
0
−n2 (αy2 + αz2 )
n2 αx αy 
Rα = αy n1 αz
αz −n1 αy
n2 αx αz
3
weiterhin ist bekannt, dass in

0 0

Sx = 0 0
0 1
dieser Darstellung die Erzeuger der Drehung gegeben sind durch





0
0 0 1
0 −1 0
−1 Sy =  0 0 0 Sz = 1 0 0
0
−1 0 0
0 0 0
und dementsprechend


0 −αz αy
0 −αx 
S α =  αz
−αy αx
0
Und nun zum Koordinatenwechsel
hα|Sα |αi = hr|Rα| Sα Rα |ri

| 


αx
0
−n2 (αy2 + αz2 )
αx
0
−n2 (αy2 + αz2 )
0 −αz αy
0 −αx  αy n1 αz
n2 αx αy  |ri
n2 αx αy   αz
=hr| αy n1 αz
−αy αx
0
αz −n1 αy
n2 αx αz
αz −n1 αy
n2 αx αz


0 0 0

=hr| 0 0 −1 |ri = hr|Sx |ri
0 1 0
wo n1 = |x̂ × α̂| und n2 = |α̂ × (x̂ × α̂)|.
14.4: (T) Streuung am δ-Potential
Der Hamiltonoperator mit einem δ-Potential ist
1
Ĥ = − ∂x2 + αδ(x).
2
Man kann die exakte Streulösung für k > 0 schreiben als
+ikx
e
+ r(k)e−ikx x < 0
Ψ(E, k > 0) ≈
t(k)eikx
x>0
(1)
(2)
(a) Bestimme die Relationen zwischen r(k) und t(k), die “Anschlussbedingungen”,
die daraus
R
folgen, dass ĤΨ keine δ-Funktion enthalten darf, also − ĤΨ(x)dx = 0.zu bestimmen
ist.
Es gilt für alle , dass
Z Z
0=
Ĥ Ψ(x) dx =
−
−
1 2
1
− ∂x + αδ(x) Ψ(x) dx = − ∂x Ψ(x) + αΨ(0)
2
2
−
da es für alle gilt, gilt es insbesondere auch für den Limes und demetsprechend folgt
Ψ0 (0+ ) = Ψ0 (0− ) + 2αΨ(0)
wobei 0± für den rechtseitigen bzw. linksseitigen Limes von → 0 steht. Dies Zusammen
mit der Kontinuitätsgleichung
Ψ(0+ ) = Ψ(0− )
4
liefert die Anschlussbedingungen. Unter Anwendung der angegebegen Form werden diese
Gleichungen zu
ik t(k) = ik − ik r(k) + 2αt(k)
t(k) = 1 + r(k)
Auflösen von diesen liefert
ik
α
r(k) =
ik − α
ik − α
(b) Skizziere Transmissions- T und Reflexionskoeffizienten R als Funktion von k und α.
t(k) =
Es gilt
k2
α2
2
R(k,
α)
=
|r(k,
α)|
=
α2 + k 2
α2 + k 2
Hier ist ein guter Punkt um die Rechnung zu prüfen, da R + T = 1 sein muss, was hier
der Fall ist.
T (k, α) = |t(k, α)|2 =
1
−2k −k
1
R
k
2k
T
α
−2α −α
T
α
2α
R
k
14.5: (Z) Streuamplitude eines Yukawa-Potentials
Das sogenannte Yukawa-Potential
e−µ|~r|
|~r |
sieht auf kurze Distanzen r . 1/µ aus wie ein Coulomb-Potential, hat aber nicht das Problem
der unendlichen Reichweite. In erster Born’scher Näherung ist die Streuamplitude durch das
Matrixelement
f (1) (~k0 , ~k) = −(2π)2 m/~2 h~k0 |V̂ |~ki
(3)
gegeben mit den δ-normierten Impulseigenfunktionen h~r|~ki = (2π)−3/2 exp(i~k · ~r).
V (~r) = V0
(a) Berechne die Streuamplitude.
Hinweis: Verwende, dass dieses Integral die Form einer Fouriertransformation hat, finde
die entsprechende Fouriertransformatierte in Quellen.
Z
~
~
(1) ~ ~
2m ~
2m
~
f (k0 , k) = − (2π) 2 hk0 |V̂ |ki = −(2π) 2 d3~r (2π)−3/2 e−ik0 ·~r V (~r)(2π)−3/2 eik·~r
~
~
Z
Z
1 m
1 m
e−µ|~r|
3
3
i(~k−~k0 )·~
r
i(~k−~k0 )·~
r
=−
d
~
r
e
V
(~
r
)
=
−
d
~
r
e
V
0
2π ~2
2π ~2
|~r |
Z
−µ|~
r|
1 m
1 m
4π
FT
3
i(~k−~k0 )·~
r e
V
d
~
r
e
=−
V0
=−
2
0
2
2
2π ~
|~r |
2π ~
µ2 + ~k − ~k0
5
(b) Schreibe f (1) (~k0 , ~k) als Funktion des Streuwinkels θ : ~k0 · ~k = cos θ|k 2 |.
Es gilt
2
~k − ~k0 = ~k 2 + ~k0 2 − 2~k · ~k0 = |k|2 + |k|2 − 2 cos(θ)|k|2 = 2|k|2 (1 − cos(θ))
welches mit Hilfe der Additionstheoremen umgeschrieben werden kann zu
2
2
~k − ~k0 = 4|k|2 sin θ
2
Damit wird f (1) (~k0 , ~k) zu
−
1
2m
V0
2
~
µ2 + 4|k|2 sin
θ 2
2
(c) Betrachte den Limes µ → 0, also zum Coulombpotential.
Anmerkung: dieser Wirkungsquerschnitt der “Rutherford-Streuung” ist trotz der Born’schen
Näherung und trotz der Unklarheit mit der Langreichweitigkeit des Coulombpotentials
der korrekten Wirkungsquerschnitt für das Coulomb-Potential.
Es gilt
2 4m2 V02
dσ
= f (1) (~k0 , ~k) =
dΩ Y ukawa
~4
Dies lässt sich dann mittels |k| =
!2
1
µ→0
µ2 + 4|k|2 sin
−→
θ 2
2
m2 V02
4~4 |k|4 sin
θ 4
2
√
2mE/~ umformen zu
V02
dσ
µ→0
−→
dΩ Y ukawa
16E 2 sin
θ 4
2
2
Ze
Zum herleiten des Coulombpotentials fehlt nur noch V0 = − 4π
, mit diesem erhält man
0
dann
!2
dσ
Ze2
=
2
dΩ Coulomb
16π0 E sin θ
2
6