Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 27. 01. 2006
Aufgabe 28. Existenz gebundener Zustände in eindimensionalen Systemen (5 Punkte)
Wir betrachten ein Schrödinger-Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen System. Der
~2 ∂ 2
Hamilton-Operator sei Ĥ = − 2m
∂x2 + V (x), wobei das Potential V (x) überwiegend attraktiv
ist:
Z
lim V (x) = 0 ,
−∞ < dx V (x) < 0 .
(1)
|x|→∞
Um die Existenz gebundener Zustände nachzuweisen, betrachten wir die Variationswellenfunktion
Z
x
−1/2
,
dξ |φ(ξ)|2 = 1 ,
|φ(0)| =
6 0 ,
(2)
ψλ (x) ≡ λ
φ
λ
wobei die charakteristische Längenskala λ [also die typische Ausdehnung von ψλ (x)] als Variationsparameter auftritt. Die Funktion φ(ξ) sei stetig differenzierbar; ihre genaue Form ist im
Folgenden nicht essentiell.
(a)
Zeigen Sie mit Hilfe des Ritz’schen Variationsprinzips und der Wellenfunktion ψλ (x) aus
(2), dass für jedes Potential der Form (1) in d = 1 mindestens ein gebundener Zustand
existiert.
(b) Warum führt ein analoges Argument in einem höherdimensionalen System (d ≥ 2) nicht
zum selben Schluss?
Aufgabe 29. Gebundene Zustände für ein Teilchen im Potentialtopf (7 Punkte)
Betrachten Sie ein Schrödinger-Teilchen der Masse m, das sich in einem gebundenen Zustand
in einem Potentialtopf der Breite a befindet. Der Hamilton-Operator für die Dynamik dieses
Teilchens lautet:
vs a
~2 ∂ 2
Θ
−
|x|
+
V
(x)
,
V
(x)
=
Ĥa = −
a
a
2m ∂x2
a
2
2
~
mit a > 0 und vs < 0; Θ(x) ist eine Stufenfunktion. Die Größe ls ≡ mv
< 0 hat die Dimension
s
einer Länge, so dass |ls | neben a eine charakteristische Länge definiert. Beachten Sie, dass die
Eigenfunktionen von Ĥa entweder gerade oder ungerade sind, da das Potential Va symmetrisch
ist: Va (x) = Va (−x).
2
2
~ ∂
Wir betrachten zuerst den Grenzfall a → 0, d.h. Ĥ0 = − 2m
∂x2 + V0 (x) mit V0 (x) = vs δ(x)
und vs < 0. Bestimmen Sie alle gebundenen Zustände (d.h. alle Zustände mit Energie
E < 0) sowie den Wert der Grundzustandsenergie.
q
vs
(b) Nun betrachten wir Ĥa mit a > 0 und definieren k ≡ 2m
~2 E − a . Bestimmen Sie alle
gebundenen Zustände, erläutern Sie, wie die entsprechenden Energien E bzw. Wellenzahlen
k graphisch bestimmt werden können, identifizieren Sie den Grundzustand und zeigen Sie,
dass sich die Grundzustandsenergie für a > 0 im Limes a ↓ 0 auf den in a) bestimmten
Wert reduziert.
(a)
Aufgabe 30. Der anharmonische Oszillator (8 Punkte)
Der Hamilton-Operator für einen eindimensionalen anharmonischen Oszillator lautet:
Ĥ =
(a)
p̂2
+ 1 mω 2 x2 + αx4
2m 2
(α > 0)
.
Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der Energieeigenfunktionen |φ(x)| für |x| →
∞, einschließlich des algebraischen Vorfaktors, in Abhängigkeit von den Parametern ℓ ≡
(~2 /2mα)1/6 und ℓ0 ≡ (~/mω)1/2 .
(b) Leiten Sie mit Hilfe der Unschärferelation eine Bestimmungsgleichung für eine Schranke ES (α) für die Grundzustandsenergie her. Handelt es sich um eine untere oder obere
Schranke? Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass hx4 i ≥ hx2 i2 gilt.
(c)
Lösen Sie die in b) hergeleitete Bestimmungsgleichung asymptotisch für α ↓ 0 und α → ∞
und skizzieren Sie den Gesamtverlauf von 2ES (α)/~ω als Funktion von ℓ0 /ℓ.
(d) Bestimmen Sie den Erwartungswert Eλ des Hamilton-Operators im Zustand ψλ (x) ≡
2
2
(λ/πℓ20 )1/4 e−λx /2ℓ0 und leiten Sie mit Hilfe des Variationsprinzips eine möglichst scharfe Schranke für die Grundzustandsenergie her. Handelt es sich um eine untere oder obere
Schranke? Skizzieren Sie den entsprechenden λ-Wert als Funktion des dimensionslosen Parameters ℓ0 /ℓ.