¨Ubungen zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik I SS 2004

Übungen zur Theoretischen Physik II
Quantenmechanik I
SS 2004
Prof. H. Büttner
Blatt 7
Abgabe: Montag, 07. Juni 2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
(9 Punkte)
Aufgabe 23: Endliches Kastenpotenzial
In der Vorlesung wurde die Berechnung der Energieeigenwerte eines quantenmechanischen Teilchens
der Masse m im eindimensionalen endlichen Kastenpotenzial
(
−V0 für |x|<a,
V (x) =
0
für |x|>a,
mit V0 > 0 skizziert. Im folgenden beschränken wir uns auf die gebundenen Zustände mit E < 0.
Die Forderungen der Stetigkeit und der Quadratintegrabilität der Wellenfunktion führen dann zu
einer Bestimmungsgleichung für die Energieeigenwerte der Form
p − iq
= ±e2iqa
p + iq
für die antisymmetrischen (+) bzw. symmetrischen (−) Eigenzustände. Dabei ist q =
p
und p = ~1 2m|E|.
1
~
p
2m(E + V0 )
(a) Leiten Sie aus der obigen komplexen Bestimmungsgleichung die im Vorlesungsskript angegebenen reellen Bestimmungsgleichungen im Detail her. Bestimmen Sie graphisch die Anzahl
~2
der gebundenen Zustände in einem Potenzial der Tiefe V0 = 32 ma
2.
(b) Bestimmen Sie eine der nicht-verschwindenden Normierungskonstanten AII , AIII , BI , BII der
symmetrischen Wellenfunktionen (Notation wie im Vorlesungsskript). Tipp: Nutzen Sie die
Symmetrie der Wellenfunktion aus!
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen, das sich in einem gebundenen Eigenzustand befindet, bei einer Messung im klassisch verbotenen Bereich |x| > a zu finden.
Aufgabe 24: Halbunendliches Kastenpotenzial
(6 Punkte)
Gegeben sei ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m im eindimensionalen halbunendlichen
Kastenpotenzial


x< 0,
 ∞ für
V (x) =
−V0 für 0 <x< a,

 0
für a <x,
mit V0 > 0. Leiten Sie eine Bestimmungsgleichung für die Energieeigenwerte der gebundenen
Zustände her. Welche Ungleichung müssen V0 und ma2 erfüllen, damit überhaupt ein gebundener Zustand existiert?
Aufgabe 25: Harmonisches Potenzial plus E-Feld
(5 Punkte)
Betrachten Sie ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m und Ladung q, welches sich zusätzlich zum eindimensionalen harmonischen Potenzial noch in einem homogenen elektrischen Feld der
Stärke E befindet. Das Potenzial lautet
V (x) =
m 2 2
ω x − qEx.
2
(a) Wie lauten die Eigenzustände und Energieeigenwerte des zugehörigen Hamilton-Operators?
Tipp: Durch eine geeignete Variablentransformation kann dieses Problem auf den quantenmechanischen harmonischen Oszillator ohne elektrisches Feld abgebildet werden.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert des Ortes.