Theoretische Atomphysik SS 2010

Technische Universität München
Physik Department
Theoretische Physik T30a
Prof. Dr. H. Friedrich
Theoretische Atomphysik
SS 2010
Übungsblatt Nr. 3
Besprechung: Do. 20.05.2010
Aufgabe 3.1 – Quantisierung in einer Dimension
Die Quantisierungsregel von Bohr und Sommerfeld ist gegeben durch
Z
1 xr
φl φr
p(x0 )dx0 = nπ + +
.
~ xl
2
2
(1)
Dabei sind xl und xr die zwei klassischen Umkehrpunkte des Potentials, zwischen denen
der lokale, klassische Impuls p(x) eine reelle Größe ist. φl und φr sind die Reflexionsphasen
an der linken und rechten Seite das klassisch erlaubten Bereichs.
(a) Verwenden Sie die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel, um die Energieeigenwerte
der gebundenen Zustände im Potential des eindimensionalen harmonischen Oszillators (V (x) = µω
x2 ) zu berechnen. Verwenden Sie dazu die konventionelle WKB2
Phase, φl = φr = π2 .
(b) Berechnen Sie die energieabhängige Reflexionsphase an der eindimensionalen Potentialstufe
( 2
~
− 2µ
K02 für x < L
V (x) =
(2)
0
für x ≥ L
für Energien unterhalb der Schwelle (E = 0).
(c) Berechnen Sie nun Verwendung der Quantisierungsregel (1) die Energien der gebundenen Zustände im Kastenpotential
( 2
~
− 2µ
K02 für 0 < x < L
V (x) =
.
(3)
0
sonst
Benutzen Sie dazu die energieabhängigen Reflexionsphasen aus (b) und nehmen Sie
K0 L = 20 an. Wie verhalten sich die so ermittelten Energien zu den exakten Energieeigenwerten, die man durch Lösen der Schrödinger-Gleichung bekäme? Wieviele
Zustände unterstützt ein Kastenpotential für beliebige K0 und L?
(d) Ein Teilchen der Masse µ befinde sich in einem Potential V (x), welches im Unendlichen verschwindet. Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie für ein normiertes
Wellenpaket der Form
µ
¶
√ −1/2
x2
ψ(x) = ( πb)
exp − 2
(4)
2b
und untersuchen Sie den Grenzfall b → ∞. Zeigen Sie, dass Potentiale, die im
Wesentlichen attraktiv sind, d.h.
Z ∞
V (x)dx < 0 ,
(5)
−∞
mindestens einen gebundenen Zustand des Teilchens unterstützen.
Aufgabe 3.2 – Drehimpuls und Spin
Ein Teilchen mit Spin 1/2 bewege sich in einem kugelsymmetrischen Potential. Sein Gesamtdrehimpuls J ist dabei gegeben durch die Summe von Bahndrehimpuls und Spin
(L + S). Dabei sei der Spinoperator definiert durch
~
σ , σ = (σx , σy , σz ) ,
2
wobei die σi die Pauli-Matrizen sind. Die Basiszustände
µ ¶
µ ¶
1
0
χ+ =
und χ− =
0
1
Ŝ =
(6)
(7)
sind dabei die Eigenzustände von Sˆ2 und Sˆz .
(a) Geben Sie explizite Ausdrücke für die Operatoren Jˆ2 und Jˆz an.
(b) Zeigen Sie, dass die Spinor-Wellenfunktionen
Ã√
!
j + m Yl,m− 1 (θ, φ)
1
2
√
Yj,m,l (θ, φ) = √
,
j − m Yl,m+ 1 (θ, φ)
2j
2
Ã √
!
− j + 1 − m Yl,m− 1 (θ, φ)
1
2
√
Yj,m,l (θ, φ) = √
j + 1 + m Yl,m+ 1 (θ, φ)
2j + 2
(8)
(9)
2
1
2
1
2
mit j = l + (8) bzw. j = l − (9) Eigenfunktionen der in (a) bestimmten
Operatoren und des Spin-Bahn-Kopplungs-Operators L̂ · Ŝ sind und geben Sie die
entsprechenden Eigenwerte an.