Blatt 11 – ¨Ubungen zur Physik IV SS 13 - Delta

Fakultät Physik, Technische Universität Dortmund
Blatt 11 – Übungen zur Physik IV
Prof. G. Hiller, Prof. T. Weis
SS 13
Abgabe bis Freitag, den 21. Juni 2013, 9:00 Uhr
Aufgabe 1: “Spin-3/2 Matrixdarstellung” (5 Punkte)
Betrachtet wird ein Teilchen mit Spin s = 3/2.
a) Geben Sie eine Darstellung der Drehimpulsoperatoren Sx , Sy und Sz durch Matrizen an. Wählen Sie eine Darstellung, in welcher Sz diagonal ist und Sx reell.
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Überlegen Sie sich, wie viele Basisvektoren vi existieren und ordnen Sie
diese dann beginnend mit v1 als dem Eigenwert zu maximalem Sz mit
kleiner werdenden Eigenwerten an. Dies ist analog zu dem in der
Vorle

1
sung behandelten Spin s = 1/2 Fall mit v1 = |1/2, +1/2i =   und
0


0
v2 = |1/2, −1/2i =  .
1
(ii) Nutzen Sie die bekannte Wirkung der Operatoren Sz und der Auf- und
Absteigeoperatoren S± =Sx ±iSy , um die Matrixelemente (Sa )ij = hvi |Sa |vj i
(a = {z, +, −}) zu bestimmen.
(iii) Berechnen Sie abschliessend die Matrizen Sx und Sy aus S+ und S− .
b) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Ergebnisse explizit die Matrixdarstellung
~ 2 und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Darstellung, die sich
des Operators S
~ 2 auf die betrachteten Zustände ergibt.
direkt aus der bekannten Wirkung von S
Aufgabe 2: “Spin-Bahn-Wechselwirkung” (5 Punkte)
Im Ruhesystem eines im Atom gebundenen Elektrons bewegt sich der Atomkern und
induziert damit ein magnetisches Feld am Ort des Elektrons. Aus der klassischen
Elektrodynamik ist Folgendes bekannt:
• Die Wechselwirkungsenergie eines magnetischen Moments µ
~ in einem magneti~
~
schen Feld B beträgt Eµ = −~µ · B.
• Das magnetische Feld einer konstant bewegten Ladung kann für Geschwindig~ v = −(~v /c2 ) × E,
~ wobei E
~ das
keiten v = |~v | c ausgedrückt werden durch B
~
~
elektrische Feld der ruhenden Ladung bezeichnet. Zusätzlich gilt Ev ≈ E.
Drücken Sie nun die Wechselwirkungsenergie durch den Drehimpuls und Spin des
Elektrons aus, indem Sie den Atomkern (mit Kernladungszahl Z) als konstant bewegt
gegenüber dem Elektron annehmen. Verwenden Sie dabei, dass für das magnetische
Moment µ
~ ≈ −e/(me c) ~s gilt.
Bemerkung: Die Präzession des Spins aufgrund der nicht konstanten Geschwindigkeit
~v 6= const. führt zu einem zusätzlichen Faktor 2 verglichen mit Ihrem Ergebnis. Dieser
Effekt wird Thomas-Präzession genannt.
Aufgabe 3: “Spin-Bahn Kopplung” (5 Punkte)
Für den Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms,
H=−
~2
e2
∆−
,
2m
4π0 r
(1)
haben alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl n denselben Energieeigenwert.
a) Berechnen Sie die Anzahl der entarteten Zustände für ein beliebiges n.
b) Welchen Einfluss hat die Spin-Bahn Kopplung (s=1/2),
~ · S)
~ ,
HLS = κ(L
(2)
auf diese Entartung? Geben Sie die Energieverschiebungen, welche aufgrund der
Spin-Bahn Kopplung entstehen, explizit an.
c) Betrachten Sie nun n = 3. Berechnen und skizzieren Sie die resultierenden Energieniveaus und geben Sie für jedes Niveau den Entartungsgrad an.
Aufgabe 4: “Landéscher g-Faktor” (5 Punkte)
Betrachten Sie die beiden Gleichungen für den Gesamtdrehimpuls
~ +S
~
J~ = L
(3)
und das magnetische Moment
µ
~J = µ
~L + µ
~S.
(4)
B ~
~ und
J, µ
~ L = − µ~B L
Die magnetischen Momente sind gegeben durch µ
~ J = − g(j,l,s)µ
~
~ mit dem Landéschen g-Faktor g(j, l, s). j, l und s bezeichnen Eigenwerte
µ
~ S = − 2µ~B S,
der entsprechenden Operatoren, z.B. J~2 |j, jz , l, si = ~2 j(j + 1)|j, jz , l, si.
a) Zeigen Sie, dass
3
1 ~ 2 1 ~2
g(j, l, s)J~2 = J~2 − L
+ S
2
2
2
(5)
gilt.
b) Folgern Sie aus (a), dass
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
g(j, l, s) = 1 +
2j(j + 1)
(6)
gilt.
c) Berechnen Sie die Landéschen g-Faktoren für die Zustände 2p 1 und 2p 3 . Wie
2
2
lautet der g-Faktor für ein Teilchen ohne Spin?
Webseite zur Vorlesung:
http://www.delta.tu-dortmund.de/cms/de/Studium/Vorlesungen/SS13-PhysikIV/index.html