Quantenmechanik I WS 2005/06 (Hausübung 4) (abzugeben am

Quantenmechanik I
WS 2005/06 (Hausübung 4)
(abzugeben am Donnerstag, den 17.11.2005)
1. Streuung an einer Potentialstufe (insg. 6 Punkte)
Ein von links (x < 0) einlaufendes, freies Teilchen der Masse m > 0 und des
Impulses ~k trifft bei x = 0 auf eine Potentialstufe der Höhe α, d.h.
V (x) = αΘ(x).
(a) (3 Punkte)
Berechnen Sie für den Fall E ≤ α die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im
Intervall [x, x + dx ] und geben Sie die Intensitätsmaxima an. Berechnen
Sie das Betragsquadrat der Transmissions- und Reflexionsamplitude (siehe
Vorlesung: |T |2 , |R|2 ).
(b) (3 Punkte)
Führen Sie die gleichen Berechnungen für den Fall E ≥ α durch. Skizzieren
Sie |T |2 und |R|2 in Abhängigkeit von
α
.
E
2. Reflexionsfreier Potentialtopf (insg. 7 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m > 0 sei einem Potential der Form
V (x) = −
mµ2
cosh2 ( mµ
x)
~
ausgesetzt. Skizzieren Sie das Potential.
(a) gebundene Zustände (2 Punkte)
Berechnen Sie die stationäre Lösung für die gebundenen Zustände (E < 0)
und geben Sie die entsprechenden Energieeigenwerte an.
(Hinweis: Es gibt genau einen gebundenen Zustand. Verifizieren Sie für b ∈
R zunächst, dass
d2
[cosh bx]−1
dx2
= b2 (1 − 2[cosh bx]−2 )[cosh bx]−1 gilt.)
(b) freie Zustände (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass der stationäre Anteil aller freien Zustände von der Form
ψk (x) ∝ (α tanh bx + β)eikx
ist und bestimmen Sie α, b ∈ R, und β ∈ C sowie die Energie eines Teilchens
im Zustand ψk (x). Beschränken Sie im Folgenden Ihre Betrachtungen auf
|bx| À 1:
i. Woran erkennt man, dass das Potential das Prädikat “reflexionsfrei”
verdient?
ii. Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Intervall [x, x + dx ]?
(iii.)* Welche Phasendifferenz (im Vergleich zur Situation ohne Potential) tritt
in Abhängigkeit von k auf?
*(2 Bonuspunkte)
3. Der harmonische Oszillator (insg. 8 Punkte)
Ein quantenmechanischer eindimensionaler harmonischer Oszillator sei in einem
Zustand mit der Wellenfunktion
s
1 2
1
Ψn (ξ) = √ n e− 2 ξ Hn (ξ),
π2 n!
x
mit ξ =
x0
r
und x0 =
~
.
mω
(a) (0,5 Punkt)
Welche Bedeutung hat die Größe x0 beim klassischen Oszillator?
(b) (1,5 Punkte)
Geben Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von dem System im Grundzustand Ψ0 im Intervall [x, x + dx ] an. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der
klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit” w(x) dx =
”
πx0
√
1
1−(x/x0 )2
dx .
(c) (2 Punkte)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Grundzustand
Ψ0 außerhalb des klassisch erlaubten Intervalls aufhält?
R1
2
(Hinweis: erf(1) = √2π 0 e−ξ dξ ≈ 0, 8427)
(d) (4 Punkte)
Berechnen Sie die mittlere potentielle Energie hV in für beliebiges n. Zeigen
Sie insbesondere hT in = hV in =
En
2
= ~ω(n + 12 )/2.
1
(Hinweis: Es gilt ξHn (ξ)
=
(Hn+1 (ξ) + 2nHn−1 (ξ)) und
2
R∞
√
2
dξ e−ξ Hn (ξ)Hl (ξ) = 2n n! πδnl . hT in ist der Erwartungswert
−∞
der kinetischen Energie
p̂2
.)
2m