Quantenmechanik SS 2008 (Hausübung 4) (abzugeben am

Quantenmechanik
SS 2008 (Hausübung 4)
(abzugeben am Dienstag, den 06.05.2008)
1. Teilchen auf dem Ring (insg. 8 Punkte)
Die Bewegung eines Teilchens mit der Masse m sei auf einen Kreisring beschränkt,
2
~
also ist x = Rφ, und aus Ĥ = − 2m
∂x2 wird
Ĥ = −
~2 2
∂ .
2mR2 φ
(a) (4 Punkte)
Welche normierten Eigenfunktionen un (φ) und welche Eigenwerte En besitzt
Ĥ?
(Hinweis: Die Eigenfunktionen müssen auf dem gesamten Kreisring stetig
und eindeutig sein, d.h. un (0) = un (2π). Die Eigenfunktionen sind für n > 0
zweifach entartet, d.h. zu jedem En , n > 0, gibt es zwei Eigenfunktionen
un± (φ).)
(b) (4 Punkte)
Das System sei im Zustand ψ(φ) = αΘ(π − φ). Schreiben Sie ψ(φ) als Linearkombination der Eigenfunktionen des Hamiltonoperators und normieren
Sie diese Funktion, d.h. bestimmen Sie α.
(Hinweis: Θ(x) entspricht der Heaviside Funktion, d.h. Θ(x) = 0 für x < 0
und Θ(x) = 1 sonst.)
2. Streuung an einer Potentialstufe (insg. 6 Punkte)
Ein von links (x < 0) einlaufendes, freies Teilchen der Masse m > 0 und des
Impulses ~k trifft bei x = 0 auf eine Potentialstufe der Höhe α, d.h.
V (x) = αΘ(x).
(a) (3 Punkte)
Berechnen Sie für den Fall E ≤ α die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im
Intervall [x, x + dx ] und geben Sie die Intensitätsmaxima an. Berechnen
Sie das Betragsquadrat der Transmissions- und Reflexionsamplitude (siehe
Vorlesung: |T |2 , |R|2 ).
(b) (3 Punkte)
Führen Sie die gleichen Berechnungen für den Fall E ≥ α durch. Skizzieren
Sie |T |2 und |R|2 in Abhängigkeit von
α
.
E
3. Reflexionsfreier Potentialtopf (insg. 7 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m > 0 sei einem Potential der Form
V (x) = −
mµ2
cosh2 ( mµ
x)
~
ausgesetzt. Skizzieren Sie das Potential.
(a) gebundene Zustände (2 Punkte)
Berechnen Sie die stationäre Lösung für die gebundenen Zustände (E < 0)
und geben Sie die entsprechenden Energieeigenwerte an.
(Hinweis: Es gibt genau einen gebundenen Zustand. Verifizieren Sie für b ∈
R zunächst, dass
d2
[cosh bx]−1
dx2
= b2 (1 − 2[cosh bx]−2 )[cosh bx]−1 gilt.)
(b) freie Zustände (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass der stationäre Anteil aller freien Zustände von der Form
ψk (x) ∝ (α tanh bx + β)eikx
ist und bestimmen Sie α, b ∈ R, und β ∈ C sowie die Energie eines Teilchens
im Zustand ψk (x). Beschränken Sie im Folgenden Ihre Betrachtungen auf
|bx| À 1:
i. Woran erkennt man, dass das Potential das Prädikat “reflexionsfrei”
verdient?
ii. Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Intervall [x, x + dx ]?
(iii.)* Welche Phasendifferenz (im Vergleich zur Situation ohne Potential) tritt
in Abhängigkeit von k auf?
*(2 Bonuspunkte)