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Theorie III – Übungsblatt 8
Abgabe: 21. Dez. 2007 in der Vorl.
Prof. M. Neubert, M. Benzke
WS 07/08
1. Betrachten Sie ein Quantensystem bestehend aus zwei Teilchen mit Spins s1 und s2 ,
dessen Potential gegeben ist durch
V = V1 (r) + V2 (r) s1 · s2 + V3 (r) L · S .
Dabei ist r = |r 1 −r 2 | der Abstand zwischen den Teilchen, L der Bahndrehimpuls des
Systems und S = s1 + s2 der Gesamtspin. Zeigen Sie, dass die Operatoren L2 , S 2 ,
J 2 und Jz (wobei J = L + S der Gesamtdrehimpuls ist) einen Satz vertauschender
Operatoren bilden, die auch mit dem Hamiltonoperator vertauschen. Berechnen Sie
den Erwartungswert des Potentials für die zugehörigen Zustände |lsjmj i.
(3 P.)
2. Betrachten Sie folgende Störung des Potentials des eindimesionalen harmonischen
Oszillators:
H = H0 + εH ′ ;
H ′ = mω 2 x
a) Bestimmen Sie die exakten Ausdrücke für das Spektrum und die Eigenfunktionen in
der Ortsdarstellung, indem Sie eine quadratische Ergänzung im Potential durchführen.
Entwickeln Sie die Eigenfunktionen der niedrigsten zwei Zustände bis zur ersten Ordnung in ε.
b) Verwenden Sie die Störungstheorie und die Technik der Leiteroperatoren, um die
Korrekturen erster Ordnung zu den Wellenfunktionen sowie die Korrekturen erster
und zweiter Ordnung zu den Energieniveaus zu berechnen. Bestimmen Sie für die
niedrigsten zwei Zustände die Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung und vergleichen Sie das Ergebnis mit den exakten Resultaten aus Teil a).
(8 P.)
3. Wenn ein Wasserstoffatom einem konstanten elektrischen Feld ausgesetzt wird, dann
verschieben sich seine Energieniveaus (Stark-Effekt). Durch Wahl des elektrischen
Feldes entlang der z-Richtung, E = E0 ez , lässt sich die resultierende Störung schreiben
als
H ′ = eE0 z = eE0 r cos θ ,
wobei die Feldstärke E0 als keiner Parameter fungieren soll.
a) Zeigen Sie, dass in erster Ordnung der Störungstheorie die Grundzustandsenergie
keine Korrektur erfährt.
b) Der erste angeregte Zustand des Wasserstoffatoms ist vierfach entartet (ignorieren
Sie den Spin des Elektrons). Die zugehörigen Wellenfunktionen ψnlm in der Ortsdarstellung lauten:
1
8πa3
∓1
ψ21±1 (r, θ, φ) = √
64πa3
1
ψ210 (r, θ, φ) = √
32πa3
ψ200 (r, θ, φ) = √
1
1−
r
e−r/2a
2a
r −r/2a
e
sin θ e±iφ
a
r −r/2a
e
cos θ
a
Verwenden Sie die Störungstheorie für entartete Systeme, um die Korrekturen erster
Ordnung zur Energie zu berechnen. In wie viele Niveaus spalten sich die n = 2
Zustände auf, und was sind die entsprechenden “guten” Linearkombinationen dieser
Zustände? (Hinweis: Die meisten der benötigten Integrale verschwinden aufgrund
von Symmetrien. Integrieren Sie zuerst über φ, dann über cos θ. Nur ein einziges
Integral ist von Null verschieden. Es führt zu zwei nichtverschwindenden Einträgen
in der Matrix Ŵ (2) .)
(6 P.)
4. a) Nehmen Sie an, dass der Hamiltonoperator H eines Quantensystems von einem
Parameter λ abhängt. En (λ) und |ψn (λ)i seien die Eigenwerte und Eigenvektoren
von H(λ), und das Spektrum sei nicht entartet. Zeigen Sie, dass
∂H(λ)
∂En (λ)
= hψn (λ)|
|ψn (λ)i .
∂λ
∂λ
Entwickeln Sie dazu H(λ) um einen festen Wert λ0 und behandeln Sie die Abweichung
von H(λ0 ) als Störung.
b) Der effektive Hamiltonoperator für die Radialwellenfunktion des Wasserstoffatoms
ist
h̄2 l(l + 1) h̄cα
h̄2 d2
+
−
,
H=−
2m dr 2 2m r 2
r
und die zugehörigen Eigenwerte (ausgedrückt durch l) lauten
En = −
mc2
α2
,
2 (l + jmax + 1)2
wobei jmax ≥ 0 eine nichtnegative ganze Zahl ist. (Normalerweise setzt man n =
l + jmax + 1.) Setzen Sie λ = α in Teil a), um den Erwartungswert h1/ri für die
Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms zu berechnen, und vergleichen Sie das Resultat
mit der Vorhersage des Virialtheorems. Setzen Sie λ = l, um eine Formel für h1/r 2 i
herzuleiten. Drücken Sie in beiden Fällen das Resultat durch den Bohrschen Radius
a = h̄/(mcα) aus.
(4 P.)
5. Ein wichtiges Merkmal des Wasserstoffspektrums im Bereich sichtbaren Lichtes ist
die rote Balmer-Linie, die einem Übergang zwischen den Energieniveaus n = 3 und
n = 2 entspricht. Bestimmen Sie die Energie dieser Linie (in eV), ihre Wellenlänge (in
nm) und ihre Frequenz (in Hz) nach der Bohrschen Theorie. Die Feinstruktur spaltet
die Balmer-Linie in mehrere nahe beieinander liegende Linien auf. Zeichnen Sie ein
Termschema der resultierenden Energieniveaus, deuten Sie alle möglichen Übergänge
von n = 3 nach n = 2 an, und ordnen Sie diese nach ihrer Energie. Wie groß sind
die Feinstrukturkorrekturen ∆E, d.h. die Abweichungen von E30 − E20 , für jede der
Linien?
(3 P.)
6. a) Berechnen Sie für den Fall eines schwachen Magnetfeldes die Feinstrukturkorrekturen und die Zeeman-Aufspaltungen für die acht n = 2 Zustände |2ljmj i des Wasserstoffatoms.
b) Berechnen Sie für den Fall eines starken Magnetfeldes die Feinstrukturkorrekturen
und die Zeeman-Aufspaltungen für die acht n = 2 Zustände |2lml ms i des Wasserstoffatoms.
(4 P.)
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