Spin-1/2

H.-W. Hammer
Institut für Kernphysik
Übungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14)
1. Übung
22.10.2013
A.1: Spin-1/2
~ˆ ist der erzeugende Operator (Generator) für Drehungen von Spinoren.
(a) Der Spin S
Einer Drehung im Ortsraum um die Achse ~n mit dem Winkel ϕ entspricht der
Operator
~ˆ
D~n (ϕ) = e−i ϕ S·~n .
Zeigen Sie am Beispiel der z-Komponente, dass für Drehungen um die z-Achse gilt
Dz (ϕ) = cos
ϕ
ϕ
− i σz sin .
2
2
(Analoge Gleichungen gelten für die x- und y-Komponente. Warum?)
~ = 1 ~σ mit den Pauli-Matrizen σx = 0 1 , σy = 0 −i , σz =
Hinweis: S
1
0
i 0
2
1 0
0 −1
.
(b) Wie transformiert sich ein Spinor |χi unter einer Drehung um 2π um eine beliebige
Drehachse?
(c) Wir definieren die Eigenzustände mit Spin
Sz = + 1 = 1 ≡ |↑i ,
2
0
in Richtung der z-Achse:
Sz = − 1 = 0 ≡ |↓i .
2
1
Durch welche Drehung D~n (ϕ) erhält man den Eigenzustand Sx = + 12 aus |↑i?
Drücken Sie Sx = + 12 als Superposition der Zustände |↑i und |↓i aus.
A.2: Harmonischer Oszillator in 2 Dimensionen
Wir betrachten einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator. Er wird beschrieben
durch den Hamiltonoperator
2 X
1 2 m ωi2 2
p̂i +
q̂i ,
Ĥ =
2m
2
i=1
wobei [q̂i , p̂j ] = iδij .
Wir führen die aus der Quantenmechanik I bekannten Leiteroperatoren ein:
r
r
m ωi
i
m ωi
i
†
ai =
q̂i +
p̂i , ai =
q̂i −
p̂i
2
m ωi
2
m ωi
(a) Berechnen Sie die Kommutatoren [ai , a†j ], [ai , aj ], [a†i , a†j ].
(b) Drücken Sie den Hamiltonoperator Ĥ durch die Leiteroperatoren aus.
(c) Zeigen Sie, dass die Operatoren L+ = a†1 a2 und L− = a†2 a1 erhalten sind, falls
ω1 = ω2 .
Warum können L+ und L− nicht Generatoren einer unitären Transformation sein?
(d) Wir setzen nun ω1 = ω2 ≡ ω. Dann ist die Linearkombination L = −i(L+ − L− )
Generator einer Symmetrietransformation (warum?):
U = e−iL
Der Ortsoperator q̂i transformiert sich darunter wie folgt:
q̂i0 = U q̂i U †
Sei ein infinitesimaler Transformationsparameter; berechnen Sie die infinitesimalen
Änderungen δ q̂i = q̂i0 − q̂i .
Kommt Ihnen diese Transformation bekannt vor?
(e) Wie lässt sich L durch die Operatoren q̂i , p̂i ausdrücken?
H.1: Gitter-Translation als diskrete Symmetrie
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Abbildung 1: Periodische Gitter mit unendlicher (oben) und endlicher (unten) Potentialbarriere zwischen zwei Gitterplätzen
Wir betrachten ein periodisches eindimensionales Potential der Periode a, für das also
gelte: V (x ± a) = V (x), siehe Abbildung 1. (Z.B. könnte man so die Bewegung eines
Elektrons in einem Gitter positiv geladener Ionen modellieren.) Mit Hilfe des Translationsoperators T (a) lässt sich also schreiben
T (a)† V (x) T (a) = V (x + a) = V (x) ,
oder, da der kinetische Teil des Hamiltonoperators H sogar unter allgemeinen Translationen invariant ist,
T (a)† H T (a) = H
⇔
[T (a), H] = 0 .
Wir können also nach gemeinsamen Eigenfunktionen von H und T (a) suchen. (Warum?)
(a) Welche Eigenschaft hat der Operator T (a)? Wie sehen also die Eigenwerte zu diesem
Operator aus?
Wir betrachten zunächst den (unrealistischen) Fall unendlich hoher Potentialbarrieren
zwischen zwei Gitterplätzen (Abb. 1 oben). Eigenzustände des Hamiltonoperators sind
dann z.B. Zustände |ni, die in den Potentialminima am n-ten Gitterplatz lokalisiert sind,
H |ni = E0 |ni, wobei n von −∞ bis ∞ läuft. |ni ist offensichtlich kein Eigenzustand von
T (a), da gilt
T (a) |ni = |n + 1i .
(b) Zeigen Sie, dass die Linearkombination
|θi =
∞
X
n=−∞
einθ |ni ,
−π ≤ θ ≤ π ,
ein Eigenzustand des Translationsoperators T (a) ist, und berechnen Sie den Eigenwert.
Auch im realistischeren Fall eines periodischen Potentials mit endlicher Potentialbarriere
(siehe Abb. 1 unten) können wir lokalisierte Zustände |ni betrachten, die sich unter Translation wie T (a) |ni = |n + 1i verhalten; allerdings sind diese für gewöhnlich keine Energieeigenzustände mehr: Ein näherungsweise am Gitterplatz n lokalisierter Zustand hat auch
einen nichtverschwindenden Überlapp mit benachbarten Gitterplätzen, mit anderen Worten, der Hamiltonoperator ist nicht mehr diagonal in der Basis |ni, n = −∞ . . . ∞. Wir
nehmen an, dass die einzig wichtigen Matrixelemente außerhalb der Diagonalen diejenigen
zwischen benachbarten Zuständen sind,
hn| H |ni = E0 ,
hn ± 1| H |ni = −∆ ,
hn0 | H |ni = 0 sonst .
(Näherung enger Bindung, “tight-binding approximation”.)
(c) Zeigen Sie, dass |θi wie oben definiert unter diesen Annahmen immer noch simultaner Eigenzustand von T (a) und von H ist, und berechnen Sie den (nun θ-abhängigen) Energieeigenwert.
Um die physikalische Bedeutung des Parameters θ besser zu verstehen, untersuchen wir
zuletzt die Ortsraum–Wellenfunktion hx0 |θi.
(d) Gewinnen Sie durch Anwendung des Translationsoperators auf hx0 |θi eine Bedingung an die Wellenfunktion und zeigen Sie, dass diese durch den Ansatz
0
hx0 |θi = eikx uk (x0 )
erfüllt wird, wobei θ = ka gelte und uk (x0 ) eine beliebige periodische Funktion mit
Periode a sei.
(e) Skizzieren Sie den Energieeigenwert E(k) und interpretieren Sie das Ergebnis. Was
ist durch die Kopplung benachbarter Gitterplätze also aus der unendlichfachen
Energieentartung der Zustände |ni entstanden?