30. November 2015

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
M.Sc. N. Bittner
Dr. M. Gross
M.Sc. M. Labbé-Laurent
M.Sc. A. Reindl
Theoretische Physik II: Quantenmechanik I
WiSe 2015/16
7. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP2 15) 30. November 2015
16. Asymmetrischer Potentialtopf
Betrachten Sie in einer Raumdimension den

 U1
0
U(x) =

U2
asymmetrischen Potentialtopf
, x < −a
, x ∈ [−a, a]
,x > a
(1)
mit a > 0 and 0 < U1 ≤ U2 .
(a) Skizzieren Sie U(x).
(b) Machen Sie einen geeigneten Ansatz für Eigenfunktionen gebundener Zustände (d.h.
mit ε < U1 ) und formulieren Sie Bedingungen an die unbekannten Koeffizienten.
(c) Leiten Sie eine Gleichung für Energieeigenwerte ε < U1 her und diskutieren Sie die
Anzahl gebundener Zustände als Funktion von U1 , U2 und a.
17. Analytisch lösbare Schrödingergleichung
Betrachten Sie ein quantales Teilchen in einer Raumdimension, das sich in einem externen
Kraftfeld mit Potential
6
U(x) = −
(2)
(cosh(x))2
befindet.
(a) Skizzieren Sie U(x) und bestimmen Sie eine untere Schranke für die Eigenwerte ε.
(b) Formulieren Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung für die Eigenfunktionen
φ(x) zum Eigenwert ε.
(c) Bestimmen Sie die Symmetrieeigenschaften der Eigenfunktionen φ(x).
(d) Betrachten Sie die Variablentransformation ψ(y) := φ(x)(cosh(x))2 mit y := sinh(x).
Leiten Sie unter Verwendung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung aus Aufgabenteil (b) eine Differentialgleichung für ψ(y) her.
(e) Zeigen Sie, dass ψ(y) ≃ Ay k für |y| ≫ 1 mit Konstanten A, k gilt. Bestimmen Sie eine
obere Schranke für k sowie den Zusammenhang zwischen k und ε.
(f) Bestimmen Sie unter Benutzung der Ergebnisse der vorherigen Aufgabenteile die
möglichen Eigenwerte ε < 0 und die zugehörigen Eigenfunktionen φ(x).
Fortsetzung auf Seite 2
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18. Numerische Lösung der Schrödingergleichung
Zur numerischen Lösung der eindimensionalen Schrödingergleichung φ′′ (x) = (U(x) −
ε)φ(x) wählt man eine Schrittweite ∆x > 0 und führt damit φn := φ(xn ), xn := n∆x, n ∈ Z
ein.
(a) Zeigen Sie
φ′′ (xn ) =
φn+1 − 2φn + φn−1
+ O((∆x)2 )
2
(∆x)
(3)
und formulieren Sie die Schrödingergleichung in der Form
φn+1 = f (φn , φn−1 ) + (∆x)2 g(φn , xn , ε) + O((∆x)4 ).
(4)
(b) Vernachlässigen Sie in Gl. (4) die Terme O((∆x)4 ) und bestimmen Sie damit näherungsweise die Eigenwerte ε der gebundenen Zustände (d.h. mit ε < 0) für das Potential in Gl. (2) aus Aufgabe 17.
(Hinweis: Beachten Sie die Symmetrie der Wellenfunktionen und die Randbedingungen
φ(x → ±∞) → 0.)
(c) Tragen Sie die numerisch gewonnenen, genäherten Eigenfunktionen φn und die in
Aufgabe 17 bestimmten exakten Eigenfunktionen φ(xn ) in ein Diagramm ein und
vergleichen Sie diese.
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