9. Übungsblatt zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik) 25

Fakultät für Physik
Prof. Dr. H. W. Diehl
Dr. H. Gollisch
M. Burgsmüller, F. M. Schmidt
9. Übungsblatt zur Theoretischen Physik II
(Quantenmechanik)
Abgabetermin: 16.06.10, 10 Uhr
Briefkasten gegenüber MC351
25
Zweidimensionales rechteckiges Kastenpotential mit unendlich
hohen Wänden
Ein Teilchen der Masse m bewege sich in einem zweidimensionalen rechteckigen Kastenpotential

für 0 < x < a,

0
U (x, y) = u(x, a) + u(y, b) mit u(x, a) =


∞ sonst.
a) Zeigen Sie, dass sich aufgrund der additiven Form des Potentials U (x, y) die zweidimensionale
1 2
p̂ +U (x, y)] ψ(x, y) = E ψ(x, y) durch den Separationsansatz ψ(x, y) =
Schrödingergleichung [ 2m
X(x)Y (y) lösen lässt.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen normierten Eigenfunktionen dieser stationären Schrödingergleichung.
c) Skizzieren sie das Energiespektrum für den Fall b = a (mit Angabe des Entartungsgrads) und
für den Fall b ≫ a.
[6 Punkte]
26
Absorption von Teilchen – komplexes Potential
Der Zustand eines quantales Teilchen im R3 werde durch die Wellenfunktion ψ(r, t) beschrieben. Der
zugehörige Strom ist bekanntlich
~
∗ ~
∇ψ =
[ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ] .
j = Re ψ
mi
2mi
a) Erläutern Sie die physikalische Bedeutung von j in einem Satz. ( . . . ist die Wahrscheinlichkeit
”
dafür, dass ein Teilchen pro ?? durch ?? geht.“)
b) Ein Strahl von Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit v möge durch einen Bereich (= ein aus
absorbierenden Atomen bestehendes Medium) laufen, in dem einige von ihnen absorbiert werden
können. Diese Absorption lässt sich phänomenologisch durch ein komplexes Potential U =
U1 − iU2 (mit U1 , U2 ∈ R) beschreiben. Zeigen Sie, dass sich für den Absorptionsquerschnitt
pro Atom das Resultat
2 U2
σ=
~N v
ergibt.
Hinweis: Wiederholen Sie die in der Vorlesung gemachten Überlegungen, die zur Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte und den Strom führten, und ändern Sie
diese geeignet für den betrachteten Fall mit Im U 6= 0 ab. (Der Absorptionsquerschnitt ist
definiert als die Absorptionsrate/einfallendem Strom.)
[4 Punkte]
27
Teilchen im δ-Potential
Ein quantales Teilchen der Masse m bewege sich in einer Raumdimension unter dem Einfluß eines
sehr kurzreichweitigen Potentials, das durch eine δ–Funktion
V (x) = V0 δ(x)
idealisiert werden soll. Das Potential kann abstoßend (V0 > 0) oder anziehend (V0 < 0) sein.
a) Zeigen Sie, dass der Paritätsoperator Π̂ (definiert durch (Π̂ψ)(x) = ψ(−x), vgl. Aufgabe 17)
mit dem Hamiltonoperator Ĥ vertauscht. Begründen Sie, dass es deshalb bei hier gegebenem
Potential stets möglich ist, die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators als gerade oder ungerade
Funktionen zu wählen.
Begründen Sie außerdem kurz, dass bei gebundenen Zuständen für die Lösung des Eigenwertproblems die Betrachtung reeller Eigenfunktionen genügt.
b) Für x 6= 0 genügt die Wellenfunktion der freien Schrödingergleichung. Zeigen Sie zunächst (unter
der Voraussetzung, dass ψ(x) stetig ist), dass die erste Ableitung ψ ′ (x) bei x = 0 einen Sprung
hat. Wie groß ist diese Unstetigkeit? Integrieren Sie hierzu ψ ′′ (x) im Intervall −ǫ < 0 < ǫ und
bilden Sie den Grenzübergang ǫ → 0
c) Für welche Werte von V0 existieren gebundene Zustände? Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte und Eigenfunktionen.
Wie groß ist der Entartungsgrad jedes Eigenwerts?
Skizzieren Sie die Eigenfunktionen.
d) Bestimmen Sie die stationären Streulösungen (Eigenfunktionen zu Eigenwerten, die nicht zu
gebundenen Zuständen gehören) für beliebige Werte von V0 .
Wie groß ist der Entartungsgrad jedes Eigenwerts?
Skizzieren Sie die Eigenfunktionen.
e) Berechnen Sie den Reflexions– bzw. Transmissionskoeffizienten für ein von links einfallendes
Teilchen der Energie E > 0 in Abhängigkeit von V0 und E und skizzieren Sie das Ergebnis
graphisch.
[10 Punkte]