Fragen und Aufgaben - TU Bergakademie Freiberg

Fragen und Aufgaben
Quantentheorie I
Fragen und Aufgaben
1. Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilungsfunktion (Gaußverteilung) in einem Ensemble vieler unabhängiger punktförmiger Teilchen (ideales Gas) ist
gegeben durch:
r
w(vx ) =
α −αvx2
e
π
(für z.B. die x-Richtung)
α 3 −α~v 2
w(~v ) =
e
(für alle drei Richtungen)
π
Dabei sind die Verteilungsfunktionen entsprechend normiert:
r
(z.B. ist
R∞
−∞
w(vx ) dvx = 1 )
a) Bestimmen Sie die Konstante α, wenn Ihnen die Zustandsgleichung des
idealen Gases
2
pV = N kT = N < εkin >
3
gegeben ist, wobei N die Zahl der Teilchen und < εkin > ihre mittlere
kinetische Energie ist. k ist die Boltzmann-Konstante.
b) Wie groß ist der Mittelwert
< vx > und wie groß die mittlere quadratische
q
Abweichung σvx = < (vx − < vx >)2 > ?
c) Wie sehen die zugehörigen Verteilungsfunktionen für den Teilchenimpuls
p~ = m~v aus?
Hilfreich für die Berechnung der Integrale ist die Gauß’sche Γ-Funktion
Z∞
Γ(z) =
e−x xz−1 dx,
0
sowie die Kenntnis, daß Γ( 21 ) =
√
π, Γ(1) = 1 und Γ(z + 1) = zΓ(z) ist.
2. Finden Sie für die zentrierte Lorentz-Funktion (Cauchy-Verteilung)
wσ (x) =
x2
C
+ σ2
(C > 0)
die Normierungskonstante C. Berechnen Sie ihre mittlere quadratische Abweichung und begründen Sie, warum sie als Warscheinlichkeitsdichte schlecht
geeignet ist!
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Quantentheorie I
3. Was ist eine Materiewelle? Wie hängen Frequenz und de Broglie-Wellenlänge
einer Materiewelle mit den Größen Impuls und Energie eines Teilchens zusammen? Wie groß ist z.B. die de Broglie-Wellenlänge eines Elektrons, nachdem
es durch eine Potentialdifferenz von 10 kV beschleunigt wurde?
4. Welche Aussagen lassen sich über Ort, Impuls und Energie eines freien Teilchens (Masse m) machen, dessen Wellenfunktion durch die ebene Welle
i
1
(~
p~
r −Et)
h̄
ψ(~r, t) = √
beschrieben wird?
3e
2πh̄
h̄
Wie groß ist die Warscheinlichkeitsstromdichte ~jw = 2mi
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) für
das Teilchen und wie muß man sie interpretieren?
5. Welche Bedeutung besitzt die Fouriertransformierte
ψ(~p, t) = √
1
Z
2πh̄
3
i
ψ(~r, t)e− h̄ p~~r dV ,
V∞
und welche insbesondere |ψ(~p, t)|2 ? Bestimmen Sie für die Wellenfunktion aus
Aufgabe 4 die Fouriertransformierte!
6. Prüfen Sie nach, welche der folgenden Operatoren A1 bis A6 und O1 bis O6
linear sind!
O1 ψ(x) = x3 ψ(x)
A1 f (x) = f (x) + x2
O2 ψ(x) = x(d/dx)ψ(x)
A2 f (x) = [f (x)]2
O3 ψ(x) = λψ ∗ (x)
A3 f (x) = f (3x2 + 1)
O4 ψ(x) = eψ(x)
A4 f (x) = [df (x)/dx]3
O5 ψ(x) = [dψ(x)/dx] + a
A5 f (x) = df (x)/dx − 2f (x)
Rx
O6 ψ(x) =
dx0 (ψ(x0 )x0 )
A6 f (x) = λf (x)
−∞
Berechnen Sie die Kommutatoren [O2 , O6 ] und [O1 , O2 ] !
Lösen Sie das Eigenwertproblem für O6 und finden Sie die Eigenwerte mit
quadratintegrablen Eigenfunktionen! (Hinweis: Differenzieren!)
7. Zeigen Sie , daß die Mischung √12 ψ1 + √12 ψ2 zweier orthogonaler und normierter Zustandsfunktionen ψ1 und ψ2 ebenfalls eine normierte Zustandsfunktion
darstellt!
8. Wie ist die mittlere quadratische Abweichung definiert? Wann ist ihr Wert
Null?
2
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Quantentheorie I
9. Was bedeutes es physikalisch, wenn zwei Operatoren kommutieren, und was,
wenn ihr Kommutator von Null verschieden ist?
10. Berechnen Sie [pz , z 2 ], [y, p2y ], [Lz , z 2 ], [Lz , x2 ], [Lz , x · y] !
Verwenden Sie dabei : [xk , xl ] = 0, [pk , pl ] = 0, [pk , xl ] = h̄i δkl ,
sowie [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B und [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C.
11. Wodurch ist die Tunnelwahrscheinlichkeit eines Teilchens durch einen rechteckigen Potentialwall im wesentlichen bestimmt?
12. Berechnen Sie für ein Teilchen im
q ∞-hohen Potentialtopf (x von 0 bis a) mit
der Wellenfunktionen ψn (x) = a2 sin( nπx
) die Erwartungswerte für x, x2 , px
a
und p2x . Bestimmen Sie daraus die mittleren quadratischen Abweichungen ∆x
und ∆px . Überprüfen Sie für diesen Fall die Heisenbergsche Unschärferelation.
Sind die Wellenfunktionen in diesem Topf auch gleichzeitig Eigenfunktionen
eines Paritätsoperators?
13. Skizzieren Sie die Wellenfunktion ψn (x) (n = 3) für ein Teilchen der Masse
m, das sich in einem Potential V (x) = k2 x2 bewegt(n = 0 ist Grundzustand).
Welche Energie besitzt das Teilchen in diesem Zustand? Was läßt sich über
seine Parität sagen?
14. Geben Sie die Erwartungswerte von Ort und Impuls eines harmonischen Oszillators im Eigenzustand ψn (x) = Cn (a)Hn (ax) exp(−(ax)2 /2) an! ( a2 =
mω/h̄) Vergleichen Sie mit den entsprechenden Mittelwerten für einen klassischen linearen harmonischen Oszillator! (Hn bezeichnet das Hermit’sche Polynom vom Grad n.)
15. Begründen (oder zeigen) Sie, daß die Eigenfunktionen eines harmonischen Oszillators eine bestimmte Parität haben!
16. Ein Teilchen bewege sich entlang der rechten x-Achse im Potential V = +∞
(x ≤ 0) und V = k2 x2 (x > 0). Was läßt sich über seine Energieeigenwerte und
seine Eigenfunktionen im Vergleich zum normalen (beiderseits) harmonischen
Oszillator aussagen? Skizzieren Sie den Potentialverlauf!
17. Das Elektron eines Wasserstoffatomes befinde sich im angeregten Zustand
ψ3d . Geben Sie für diesen Fall die Wirkung von Hamilton-Operator und
Drehimpuls-Quadrat-Operator auf die Zustandsfunktion an! Also Hψ3d =?
~ 2 ψ3d =? Welche Parität hat der ψ3d -Zustand? Ist es möglich, daß durch
und L
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Quantentheorie I
einfache Aussendung eines Photons der angeregte ψ3d -Zustand in den ψ1s Grundzustand übergeht?
18. Die Eigenfunktionen eines Teilchens im Potentialkasten mit ∞-hohen Wänden
bei x = 0 und x = L haben die Form
s
un (x) =
2
nπx
sin(
).
L
L
Angenommen das Teilchen habe zum Zeitpunkt t = 0 die normierte Wellenfunktion ψ(x) = A(sin( πx
))3 . Wie groß ist die Normierungskonstante A ?
L
Welche Form hat ψ(x, t) ? Wie groß ist die Warscheinlichkeit dafür, daß eine
2 π 2 h̄2
Energiemessung E3 liefert, wobei En = n2mL
2 gilt?
19. Zeigen Sie, daß die Funktion ψ(x) = x2 e−x den stationären Zustand eines
Teilchens im Potential V = x12 − x2 im Halbraum x > 0 beschreibt (links
bei x < 0 sei eine undurchdringliche Wand)! Wie groß ist der zugehörige
Energieeigenwert? Skizzieren Sie Potential und Wellenfunktion! Überprüfen
Sie die Normiertheit der Wellenfunktion!
20. Zeigen Sie für ein Teilchen, das sich in der x-y-Ebene in einem ∞-tiefen zweidimensionalen Potentialkasten mit den Kantenlängen a und b bewegt, daß für
die Energieeigenwerte und -funktionen gilt:
(a) Enx ny =
π 2 h̄2
2m
n2x
a2
+
n2y
b2
(nx , ny = 1, 2, 3, ...)
(b) ψnx ,ny (x, y) = C sin(nx πx/a) sin(ny πy/b)
(c) Bestimmen sie die Konstante C!
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