¨Ubungen zur Vorlesung Mechanik und Quantenmechanik SS 2016

Übungen zur Vorlesung Mechanik und Quantenmechanik SS 2016
Prof. Dr. Wolfgang Kinzel
Aufgabe 25: Zeitentwicklung eines Teilchens im unendlich hohen Kasten
Ein Quantenteilchen der Masse m bewege sich in einem eindimensionalen, unendlich hohen
Kasten
(
0
falls |x| < a,
V (x) =
∞
falls |x| ≥ a.
~2 π 2 2
Setzen Sie als bekannt voraus, dass die Eigenwerte der Energie gegeben sind durch En =
n
8ma2
mit n = 1, 2, 3, ... und die zugehörigen Eigenfunktionen durch
nπx
1
ϕn (x) = √ cos
für n ungerade,
2a
a
1
nπx
ϕn (x) = √ sin
für n gerade.
2a
a
Die Wellenfunktion ψ(x) des Teilchens zur Zeit t = 0 sei eine gerade Funktion, ψ(−x) = ψ(x).
Kennt man die Entwicklung von ψ(x) nach den Eigenfunktionen ϕn (x), d.h. die Darstellung
der Form
Z a
∞
X
ϕ∗n (x)ψ(x) dx,
ψ(x) =
cn ϕn (x) mit cn =
−a
n=1
so lässt sich die Zeitentwicklung von ψ(x) angeben.
a) Zeigen Sie, dass ψ(x, t) =
∞
X
cn ϕn (x)e−i
En
t
~
die Schrödingergleichung erfüllt.
n=1
b) Für die Energieeigenwerte gilt En = n2 E1 . Die im Exponenten der e-Funktion auftretende
Kombination E~n hat die Dimension einer reziproken Zeit. Wir definieren eine charakteristische Zeit T durch T = 2π~
.
E1
Zeigen Sie, dass ψ(x, t) periodisch mit der Periode T ist, dass also ψ(x, t + T ) = ψ(x, t) gilt.
c) Warum gilt in diesem Fall cn = 0 für alle geraden n?
Beweisen Sie, dass wegen dieser Eigenschaft Folgendes gilt:
i) ψ(x, t + T /2) = −ψ(x, t),
ii) |ψ(x, t)|2 ist periodisch mit der Periode
T
.
8
Aufgabe 26: Kommutatoren
A, B und C seien Operatoren in einem Hilbertraum. x̂ und p̂ seien der eindimensionale Ortsund Impulsoperator. Zeigen Sie:
a) [A B, C] = A [B, C] + [A, C] B
b) [ x̂2 , p̂ ] = 2 i ~ x̂
c) [ p̂2 , x̂ ] = −2 i ~ p̂
d) [ V (x̂), p̂ ] = i ~ dd Vx
Aufgabe 27: Teilchen im unendlich hohen Kasten
Ein Teilchen der Masse m, das sich in einem eindimensionalen, unendlich hohen Potentialtopf
0 für |x| < a
U (x) =
∞ für |x| ≥ a
bewegt, habe die Wellenfunktion
Ψ(x) =
a)
b)
c)
d)
A (a2 − x2 ) für |x| ≤ a ,
0
für |x| > a .
r
1 15
Berechnen Sie die Normierungskonstante A. Zur Kontrolle: A =
.
4 a5
h ai
anzutreffen ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall 0,
2
Berechnen Sie die Fluktuationen ∆p des Impulses und ∆x des Ortes in diesem Zustand,
und überprüfen Sie die Heisenbergsche Unschärferelation.
10 − π 2
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Energie des Teilchens nur um
' 1.32 %
π2
2 2
~π
liegt.
über der Grundzustandsenergie E1 =
8ma2
Besprechung am 15.06.2016
Web-Seite der Vorlesung:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=5900