Ubungsblatt 6 zur “Quantentheorie” - Humboldt

Übungsblatt 6 zur “Quantentheorie”
Humboldt–Universität zu Berlin, WS 2010/2011,
Prof. M. Müller-Preußker, Dipl.-Phys. F. Burger
Ausgabe: Freitag, 28.01.20101
Rückgabe: Freitag, 11.02.2011 in der Vorlesung
Aufgabe 1: Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf II (6 Pkt.)
Ein Teilchen der Masse m sei in eine ein–dimensionale Box 0 < x < b eingeschlossen und
bewege sich darin kräftefrei. Die Wellenfunktion des Teilchens zum Zeitpunkt t = 0 sei
ψ(x,t = 0) = A x (b − x).
1. Die Funktionen
r
nπx 2
sin
, n = 1, 2, 3, . . . ,
b
b
bilden eine vollständige Basis von Energieeigenfunktionen im Intervall [0,b]. Zeigen
Sie, dass diese Funktionen untereinander orthonormiert sind und bestimmen Sie die
zugehörigen Energieeigenwerte. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe 1
der 5. Serie.
un (x) =
2. Entwickeln Sie die Wellenfunktion ψ(x,0) in dieser Basis.
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer Energiemessung zum Zeitpunkt t = 0
den Wert ~2 π 2 /2mb2 zu finden.
4. Wie sieht die Wellenfunktion des Teilchens ψ(x,t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t aus?
5. Berechnen Sie den Energieerwartungswert für den Zustand ψ(x,t). Sie werden dabei
auf die Summe
∞
X
π4
1
=
(2n + 1)4
96
n≥0
geführt.
Aufgabe 2: Harmonischer Oszillator im elektrischen Feld (4 Pkt.)
Ein Teilchen mit der Masse m und der elektrischen Ladung e sei im Potential V0 (x) = 12 kx2
gebunden (ein-dimensionale Bewegung). Zusätzlich unterliege es dem Einfluss eines konstanten elektrischen Feldes E in der x-Richtung (Kraft F = eE). Bestimmen Sie die Wellenfunktionen des Teilchens und das Energiespektrum.
Hinweis: Führen Sie eine geeignete Variablentransformation durch Verschiebung des Koordinatenursprungs durch, und benutzen Sie dann die Ihnen aus der Vorlesung bekannten
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators.