Zum Tunneleffekt

Zum Tunneleffekt
1. Wir betrachten die stationäre Schrödingergleichung im eindimensionalem Fall mit einem Potential U (x), und zwar für ein Teilchen
der Masse m, das sich mit einer Energie E < U (x) im klassisch verbotenem Bereich bewegt (s. Skizze). Zeigen Sie: Wenn U (x) fast konstant ist, dann ist:
ϕ(x) ≈ exp
[
1 ∫ x√
2m(U (x′ ) − E)dx′
h̄ 0
]
(1)
eine Näherungslösung für die Wellenfunktion des Teilchens. Wenn
sich der verbotene Bereich von x = 0 zu x = L erstreckt, um wie
viel nimmt die Aufenthaltsdichte des Teilchens in diesem Bereich
ab? Berechnen Sie die Fälle U (x) = U = const und U (x) = U0 + αx,
α = const., explizit, wobei die Bedingung E < U (x) im ganzen betrachteten Bereich gelten soll.
2. Wir betrachten ein Potential:
U (x) = 0
für
x < 0,
U (x) = U0 = const
sonst
(2)
Von links läuft ein freies Teilchen der Energie E < U0 ein, das bei
x = 0 reflektiert wird, aber auch in den verbotenen Bereich eindringt.
In x < 0 hat die Wellenfunktion die Form:
ψ(x) = exp(ikx) + B exp(−ikx) für x < 0
(3)
Wählen Sie einen entsprechenden Ansatz für den Bereich x > 0 und
lösen Sie die Schrödingergleichung. Bestimmen Sie insbesondere B
und |B|. Was passiert im Fall E > U0 ?
Skizze zu 1):
1