Blatt 1 - Physik Uni

Übungen zur Vorlesung “Theoretische Physik III (Quantenmechanik)”
WS 07/08 Blatt 1
Zu Beginn jeder Übungsstunde votieren“ die Übungsteilnehmer für die
”
vorbereiteten Teilaufgaben. Sie erklären sich damit bereit diese an der Tafel
vorzurechnen. Für die Zulassung zur Klausur muss für mindestens 50%
der Aufgaben votiert werden und mindestens drei Teilaufgaben müssen
vorgerechnet werden.
Die ersten Übungen finden in der Woche vom 22.-26. Oktober statt.
Aufgabe 1: Fouriertransformation (15 Punkte)
Die Fouriertransformierte ψ̃(p) einer Wellenfunktion ψ(x) ist definiert als
Z ∞
1
dx e−ipx/~ψ(x) .
ψ̃(p) = F [ψ(x)] = √
2π~ −∞
a) Beweisen Sie die inverse Fourier Transformation
Z ∞
1
−1
ψ(x) = F [ψ̃(p)] = √
dp eipx/~ψ̃(p)
2π~ −∞
mit Hilfe der Identität:
1
δ(x) =
2π
Z
∞
dk eikx
(2 Punkte)
−∞
Drücken Sie die Fouriertransformierten folgender Funktionen durch ψ̃(p) aus:
b) ψ(x − x0 ), x0 = const (Verschiebung),
ψ(cx),
wobei c = const (Streckung),
R∞
ψ (x − y)ψ2 (y)dy (Faltung)
−∞ 1
c) ψ (n) (x)
xn ψ(x)
(3 Punkte);
(nte Ableitung),
(2 Punkte).
Bestimmen Sie die Fouriertransformierten folgender Funktionen
d) Kastenfunktion:
ψ(x) =
1/(2λ), |x| < λ
0
sonst
Diskutieren Sie den Limes λ → 0
1
(3 Punkte)
e) Lorenzkurve: ψ(x) =
λ
,
π(λ2 +x2 )
λ > 0;
(2 Punkte)
1
f) Gaußkurve: ψ(x) = √2πλ
exp(−x2 /(2λ2));
2
R∞
√
2
Hinweis: −∞ dx e−x = π.
g) Beweisen Sie das Parsevalsche Theorem
Z ∞
Z ∞
2
|ψ(x)| dx =
|ψ̃(p)|2 dp
−∞
(2 Punkte)
(1 Punkt)
−∞
√
Warum ist der Vorfaktor der Fouriertransformierten mit 1/ 2π~
zweckmäßig gewählt?
Aufgabe 2: Schrödingergleichung im Impulsraum (6 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m, das sich im dreidimensionalen Ortsraum in einem
Potential V (x) bewegt, gehorcht der Schrödingergleichung
i~
∂
~2 2
ψ(x, t) = Ĥψ(x, t) mit Ĥ = −
∇ + V (x).
∂t
2m
a) Welche Gestalt nimmt die Schrödingergleichung im Impulsraum an,
falls das Potential V (x) fouriertransformierbar ist, d.h., wenn
Z ∞
1
dxe−ip·x/~V (x)
Ṽ (p) =
(2π~)3/2 −∞
existiert?
(5 Punkte)
b) Lösen Sie diese Gleichung für ein freies Teilchen.
2
(1 Punkt)