Quantenmechanik - Institut für Experimentelle Kernphysik

8. Übungsblatt
Universität Karlsruhe
Institut für Experimentelle Kernphysik
Ausgewählte Kapitel der Physik
SS 2007
Prof. Dr. G. Quast
Ausgabe: 20.06.2007
Besprechung: 28.06.2007
Dr. T. Kuhr
[email protected]
Quantenmechanik
Aufgabe 1: Unschärferelation
a) Ein Elektron bewege sich in x-Richtung mit der Geschwindigkeit vx = 3.6 × 106 m
s.
Wir können seine Geschwindigkeit mit einer Genauigkeit von 1h messen. Mit welcher
maximalen Genauigkeit können wir gleichzeitig seine Position bestimmen?
b) Welche Aussagen können wir über die Bewegung in y-Richtung treffen?
c) Ein gegnerischer Spieler versucht, den Fußball an Oliver Kahn vorbei ins Tor zu
schießen. Kahn erfasst die Geschwindigkeit des Balls (mF = 0, 43 kg) blitzschnell zu
v = 40 m
s mit einer Genauigkeit von 1% und hechtet nach dem Ball. Wie groß ist die
Ortsungenauigkeit des Balls?
Aufgabe 2: Operatoren
Wendet man einen Operator auf die quantenmechanische Beschreibung eines Zustands,
d.h. seine Wellenfunktion, an, dann erhält man die dazugehörige physikalische Größe als
Eigenwert (wenn die Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Operators ist).
a) Zeigen Sie am Beispiel des freien Teilchens, dass der Energieoperator angewendet auf
diesen Zustand die Energie des Zustands ergibt.
b) Zeigen Sie am gleichen Beispiel, dass der Impulsoperator angewendet auf diesen Zustand den Impuls des Zustands ergibt.
Aufgabe 3: Stationäre Schrödingergleichung
Leiten Sie aus der zeitabhängigen eindimensionalen Schrödingergleichung die stationäre
eindimensionale Schrödingergleichung her.
1
Aufgabe 4: Kastenpotenial
Ein unendlich tiefes Kastenpotential V (x) zwischen 0 und a ist gegeben durch
V (x) =
(
0 für 0 < x < a
.
∞ sonst
a) Zeigen Sie, dass Sinusfunktionen, welche die Randbedingung u(0) = u(a) = 0 erfüllen,
nπ
·x
un (x) = Cn sin
a
Lösungen der stationären Schrödingergleichung sind.
Bestimmen Sie für alle n die Normierungskonstante Cn , so dass gilt:
Z
∞
|un (x)|2 dx = 1
−∞
b) Der Erwartungswert einer Observablen q ist gegeben durch
hqi =
Z
∞
ψ ∗ (x)qψ(x)dx.
−∞
Berechnen Sie die Erwartungswerte von x für alle n. Falls Sie die Normierung Cn im
Aufgabenteil a) nicht bestimmen konnten, rechnen Sie mit einer allgemeinen Normierungskonstante C.
c) Ein Elektron sei in einem Gebiet [0; 10−10 m] (typischer Atomdurchmesser) eingeschlossen.
Wie viel Energie muss aufgewendet werden, damit ein Elektron vom Grundzustand
in den ersten angeregten Zustand übergeht?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Grundzustand, das Elektron in dem Gebiet [0, 49 · 10−10 m; 0, 51 · 10−10 m] zu finden? (Hilfe: Verwenden Sie die Näherung
ψ(x) ≈ ψ(x = 0, 5 · 10−10 m) für x ∈ [0, 49 · 10−10 m; 0, 51 · 10−10 m].)
Aufgabe 5: Harmonischer Oszillator
Wir betrachten einen eindimensionalen harmonischen Oszillator, d.h. ein Teilchen mit Masse m und Auslenkung x, auf das eine Rückstellkraft F = −βx wirkt. Dieses Beispiel haben
wir früher schon klassisch betrachtet. Nun wollen wir es quantenmechanisch untersuchen.
a) Zeigen Sie, dass mit der angegebenen Kraft das Potenzial V =
und stellen Sie die Schrödinger-Gleichung auf.
1
2
2 βx
verknüpft ist
2
b) Zeigen Sie, dass ψ(x) = Ae−ax eine Lösung ist, indem Sie ψ(x) explizit in die
Schrödinger-Gleichung einsetzen und den Parameter a sowie den Energieeigenwert
E bestimmen.
(Hinweis: Eine Gleichung vom Typ ax2 + b = 0 ist nur dann für alle x erfüllt, wenn
a = b = 0 gilt!)
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Die Übungsaufgaben finden Sie auch im Internet unter der URL:
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~tkuhr/AKdPh
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