Blatt 3 - Uni Regensburg

Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. K. Richter
Wintersemester 2010/2011
Übungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik)
für LA und Nanoscience
Blatt 3
Aufgabe 1: Gaußsche Wellenpakete von freien Teilchen
(11 Punkte)
Betrachten Sie ein Wellenpaket ψ(x, t), das die freie Bewegung eines Teilchens
mit Masse m im eindimensionalen Raum beschreibt und zum Anfangszeitpunkt
t = 0 durch
!
1
x2
ψ(x, 0) = q √ exp − 2 + ik0 x
2a
a π
gegeben ist. Die Zeitentwicklung dieses Wellenpakets wird durch die eindimensionale Schrödinger-Gleichung im freien Raum beschrieben.
a) Berechnen Sie die Zeitentwicklung des Wellenpakets ψ(x, t) für t > 0. Machen Sie dafür eine Fourier-Transformation der Wellenfunktion gemäß
1 Z∞
√
ψ̂(k, t) eikx dk.
ψ(x, t) =
2π −∞
Zur Bestimmung der Zeitentwicklung der Fourier-Komponenten ψ̂(k, t),
führen Sie eine Fourier-Transformation der Schrödinger-Gleichung durch
und verwenden Sie deren Lösung, welche im Ortsraum die oben angegebene Anfangsbedingung erfüllt.
Ergebnis:
(x − v0 t)2
ψ(x, t) = q √
exp − 2
+ i (k0 x − ω0 t)
2a (1 + it/τ )
a π(1 + it/τ )
!
1
mit
ω0 =
h̄k02
,
2m
v0 =
h̄k0
,
m
τ=
ma2
.
h̄
(5 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass für den zeitabhängigen Ortserwartungswert hxit , definiert
durch
Z ∞
hxit =
x|ψ(x, t)|2 dx ,
−∞
gilt: hxit = v0 t.
(3 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass für die Standardabweichung ∆xt =
Ortserwartungswerts, definiert durch
2
h(x − hxit ) it =
a q
gilt: ∆xt = √
1 + (t/τ )2 .
2
Z ∞
−∞
q
h(x − hxit )2 it des
(x − hxit )2 |ψ(x, t)|2 dx ,
(3 Punkte)
d) Betrachen Sie jetzt das Wellenpaket eines freien Elektrons, dessen Breite
∆xt=0 anfangs dem Bohrschen Radius entspricht. Welche Breite ∆xt hätte
es nach einer Sekunde freier Propagation erreicht? Bei welcher Anfangsbreite ∆xt=0 ergäbe sich formal, dass das Wellenpaket mit Lichtgeschwindigkeit
auseinanderfließt?
Aufgabe 2: Mehrdeutigkeiten in der Korrespondenzvorschrift
In der Vorlesung wurde besprochen, dass die Korrespondenzvorschrift zur Bestimmung des quantenmechanischen Hamiltonoperators aus der klassischen Hamiltonfunktion nicht eindeutig ist. Dies soll in dieser Aufgabe anhand von Beispielen
illustriert werden.
Welche Modifkation der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung ergibt sich, wenn
∂
auf die (klassisch äquivalenten) Umman die Korrespondenzvorschrift p → h̄i ∂x
formulierungen
a)
1 p2
p2
−→
x
2m
x 2m
b)
1 1
1
p2
√ pxp √
−→
2m
2m x
x
der kinetischen Energie anwendet?
Abgabe der Aufgaben 1 a)-c) bis spätestens Montag den 7. 11., 10:15.