Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Michael Lässig
Johannes Berg
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
7. Übung – Dienstag, 9. Dezember 2003
KLAUSUR – Mittwoch, 10. Dezember 2003 11 Uhr st HS 3
1. Ortsraumdarstellung
Wir betrachten die beiden Operatoren U (λ) ≡ e−iλP/ und Ũ (λ) ≡ eiλX/ , wobei
X und P der Orts- und Impulsoperator sind. λ ist eine reelle Zahl.
a) Zeigen Sie mit Hilfe der fundamentalen Kommutatoreigenschaften, daß U (λ)|xi =
|x + λi, sowie Ũ (λ)|pi = |p + λi. (|xi und |pi sind die Orts-und Impulseigenkets.)
(5 Punkte)
b) Zeigen Sie, daß hx|P |ψi = −i ∂x hx|ψi und geben Sie die Matrixelemente
hx|P |x0 i von P in Ortsraumdarstellung an. Zeigen Sie, wie hα|P |βi durch ψα (x) ≡
hx|αi und ψβ (x) ≡ hx|βi gegeben ist.
Hinweis: P lässt sich durch die Ableitung von U (λ) darstellen, X durch die Ableitung
von Ũ (λ).
(5 Punkte)
2. Galilei-Invarianz der Schrödingergleichung
Unter der Galilei-Transformation des Koordinatensystems werden die Variablen x
und p (Position und Impuls in einer Dimension) zu x−vt und p−mv transformiert.
a) Zeigen Sie, daß der Operator G(v, t) = exp{−iv(mX − P t)/ } die GalileiTransformation realisiert.
Hinweis: Nutzen Sie die Ergebnisse von 1(a), um den Effekt von G(v, t) auf Positionsund Impulseigenkets zu berechnen.
(10 Punkte)
b) Die Zeitentwicklung eines Zustandes |ψ1 (t)i sei gegeben durch den Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ), so daß |ψ1 (t)i = U (t, t0 )|ψ1 (t0 )i. Diese Zeitentwicklung gilt
als Galilei-invariant, wenn auch die Zeitentwicklung von |ψ2 (t)i ≡ G(v, t)|ψ1 (t)i
bis auf einen (beliebigen) Phasenfaktor durch U (t, t0 ) gegeben ist, also |ψ2 (t)i =
eiα(t,t0 ) U (t, t0 )|ψ2 (t0 )i. Welche Bedingung muß α(t, t0 ) bei t = t0 erfüllen? Zeigen
Sie, daß für eine Galilei-invariante Zeitentwicklung gilt
G(v, t)U (t, t0 )G† (v, t0 ) = eiα(t,t0 ) U (t, t0 ) .
(20 Punkte)
1
(1)
c) Der Zeitentwicklungsoperator sei U (t, t0 ) = exp{−iH × (t − t0 )/ }. Zeigen Sie,
daß aus (1) die Bedingung
G(v, t)[i ∂t − H]G† (v, t) = [i ∂t − H + f (t)]
(2)
für die Galilei-Invarianz der Schrödingergleichung folgt und geben Sie f (t) als
Funktion von α(t, t0 ) an.
Zeigen Sie, daß der Hamiltonoperator H = P 2 /(2m) für ein freies Teilchen der
Masse m die Bedingung (2) erfüllt (man findet f (t) = −mv 2 ).
(20 Punkte)
3. Der Harmonische Oszillator in Energiedarstellung
Der Hamiltonoperator H = P 2 /(2m) + mω 2 X 2 /2 beschreibt ein Teilchen der
Masse m im Potential V (x) = mω 2 x2 /2 (harmonischer Oszillator). Diep
sogenann†
(X −
ten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind definiert als a ≡ mω
2
p mω
(X + iP/(mω)). Die Eigenkets der Energie spannen eine
iP/(mω)) und a ≡
2 √
√
†
Basis |ni, wobei a |ni = n + 1|n + 1i und a|ni = n|n − 1i.
a) Geben Sie die Matrixelemente von a und a† in der Energiedarstellung an.
Geben Sie damit die Matrizen Xn und Pn an, die zu den Operatoren X und
P in der Energiedarstellung gehören. Zeigen Sie, daß die Matrizen Xn und Pn
hermitesch sind und der fundamentalen Kommutatorbedingung genügen. Stellen
Sie das Eigenwertproblem von X in dieser Darstellung auf und lösen Sie das
Eigenwertproblem zum Eigenwert x = 0.
Hinweis: Für x = 0 gibt das Eigenwertproblem eine einfache Rekursionsbeziehung für
die Komponenten von |xi in der Energiedarstellung.
(20 Punkte)
b) Wie lautet die ensprechende Rekursionsbeziehung für die Komponenten von
|xi mit x 6= 0? Zeigen Sie damit, daß das Spektrum der Matrix Xn nichtdegeneriert kontinuierlich ist und sich von −∞ zu +∞ erstreckt.
(15 Punkte)
c) Bonusaufgabe: Zeigen Sie die Ergebnisse von (b) mit Hilfe des Operators U (λ)
aus 1 (a).
2