Theoretische Physik 3 Quantenmechanik H. Spiesberger 2

Theoretische Physik 3
Quantenmechanik
H. Spiesberger
2. Übungsblatt
Ausgabe: 31. 10. 2011
Abgabe: Freitag, 11. 11. 2011
Besprechung: 16. - 18. 11. 2011
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Aufgabe 3. Dynamik von Wellenpaketen (20 Punkte) Wir betrachten ein allgemeines, im d-dimensionalen Raum definiertes Wellenpaket der Form
Z
1
e t) eik·x ,
ψ(x, t) =
dd k ψ(k,
(1)
(2π)d/2
R
e t) = (2π)−d/2 dd k ψ(x, t) e−ik·x die Fourier-Transformierte von ψ(x, t) ist.
wobei ψ(k,
Wir interessieren uns insbesondere für die Dynamik freier Teilchen, d.h. für Lösungen der
„freien“ Schrödingergleichung
i~
∂ψ
= Ĥψ,
∂t
Ĥ = −
~2
∆,
2m
(2)
Pd
2
2
wobei ∆ =
l=1 ∂ /∂xl der Laplace-Operator im d-dimensionalen Raum ist. Als Anfangsbedingung seien Funktionen ψ0 (x) und ψe0 (k) zur Zeit t = 0 vorgegeben: ψ(x, 0) =
e 0) = ψe0 (k). Die Energie des Wellenpakets kann mit Hilfe des Hamiltonψ0 (x) bzw. ψ(k,
R
Operators Ĥ berechnet werden: E = dd x ψ ∗ (x, t)(Ĥψ)(x, t).
(a) Zeigen Sie, dass das Wellenpaket (1) dann und nur dann die freie Schrödingergleichung erfüllt, wenn
∂ ψe
~ k2
e t),
(k, t) = −iωk ψ(k,
ωk =
(3)
∂t
2m
R
gilt, und zeigen Sie: ψ(x, t) = (2π)−d/2 dd k ψe0 (k) ei(k·x−ωk t) . Zeigen Sie, dass die
R
e t)|2 geschrieben werden kann. 2P
Energie des Wellenpakets als E = dd k ~ ωk |ψ(k,
R
R
R
R
e t)|2 = dd x |ψ0 (x)|2 = dd k |ψe0 (k)|2 ,
(b) Zeigen Sie: dd x |ψ(x, t)|2 = dd k |ψ(k,
R
so dass die Gesamtwahrscheinlichkeit dd x |ψ(x, t)|2 zeitunabhängig ist und auf 1
normiert werden kann.
1P
Wir betrachten nun speziell eine gaußförmige Impulsverteilung zur Zeit t = 0 der Form
T
ψe0 (k) = B e−(k−k0 ) ·A·(k−k0 ) ,
(4)
wobei die Matrix A reell, symmetrisch und positiv definit ist.
R
(c) Bestimmen Sie B so, dass dd k|ψe0 (k)|2 = 1 gilt. Für welchen Wellenzahlvektor kmax
e t)|2 maximal? Berechnen Sie die Gruppengeschwindigkeit vG = dω (kmax )
ist |ψ(k,
dk
des Wellenpakets.
1.5P
R d
2
e
(d) Bestimmen Sie den mittleren Impuls hpi
p = d k ~ k |ψ(k, t)| des 1Wellenpakets
p
und zeigen Sie, dass seine Breite ∆p = h(p − hpi)2 i durch ∆p = 2 ~ Sp(A−1 )
gegeben ist. Zeigen Sie die Energie des Wellenpakets: E =
~2 k20
2m
2
~
+ 8m
Sp(A−1 ). 2.5P
(e) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte des d-dimensionalen Gauß-Pakets
durch
−1/2 − 1 (x−vt)T ·A(t)−1 ·(x−vt)
|ψ(x, t)|2 = (2π)d det[A(t)]
e 2
(5)
−1
~t 2
A und v = ~ k0 /m. Welche Beziehung besteht
gegeben ist, mit A(t) = A + 2m
zwischen v und der Gruppengeschwindigkeit vG ?
3P
(f) Zeigen Sie, dass der mittlere Aufenthaltsort des durch das Gaußsche Wellenpaket
beschriebenen Teilchens durch hxi = vt und die Unschärfe der Ortsmessung durch
∆x = (Sp[A(t)])1/2 gegeben sind. Zeigen Sie, dass die für das „Zerfließen“ des Teilchens relevante Zeitskala (∆x(tZ ) = 2∆x(0)) durch tZ = 2m
[Sp(A)/Sp(A−1 )]1/2
~
gegeben ist. Wie erklären Sie sich, dass das Wellenpaket im Ortsraum zerfließt,
obwohl seine Breite im Impulsraum konstant ist?
2.5P
(g) Welche Ergebnisse für |ψ(x, t)|2, hxi und ∆x erhält man für ein isotropes GaußPaket (A = l2 1)? Wie lange dauert es schätzungsweise, bevor man das „Zerfließen“
eines Protons bzw. das Zerfließen makroskopischer Objekte bemerkt?
3P
Wir betrachten schließlich die Heisenbergsche Unschärferelation für ein Gaußsches Wellenpaket. Aus den in den Teilaufgaben (d) und (f) gefundenen Ergebnissen folgt:
v
#
"
u
2
u
1
~t
Sp(A−1 ) ,
(6)
∆x∆p = ~ tSp(A−1 ) Sp(A) +
2
2m
so dass, ∆x∆p für t = 0 minimal ist und mit der Zeit wächst.
(h) Bestimmen Sie die Matrix A (und daher die Form des Wellenpakets)
p so, dass das
Produkt der Unschärfen ∆x∆p für kleine Zeiten, also ∆x∆p = Sp(A−1 )Sp(A),
minimal ist; welchen Wert hat ∆x∆p in diesem Fall? Überprüfen Sie außerdem für
den Spezialfall eines isotropen Gauß-Pakets, dass ∆x∆p für große Zeiten (t ≫ tZ )
umso größer ist, je schmaler das Wellenpaket im Ortsraum zur Zeit t = 0 ist. 4.5P
Bitte notieren Sie die Zeit, die Sie für die Bearbeitung der Übungsaufgaben benötigt
haben.