Ubungen zur Vorlesung Quantenmechanik - staff.uni

Institut für Physik
SS 2012
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik
Blatt 3
Fragen zur Vorlesung:
~ˆ Energie Ê?
29. Wie lauten in Ortsdarstellung die Operatoren für Ort ~rˆ, Impuls pˆ~, Drehimpuls L,
Welche Form hat der Hamiltonoperator Ĥ ?
30. Formulieren Sie die Unschärferelation für Ort und Impuls.
31. Formulieren Sie die Unschärferelation für Energie und Zeit.
32. Nennen Sie weitere Unschärferelationen.
33. Nach welcher einfachen Gleichung können Sie die rechte Seite in der Unschärferelation
“∆A ∆B ≥ ? ” für zwei Observablen A und B berechnen?
34. Wann kann man zwei Größen gleichzeitig scharf messen?
35. Wie lautet das Ehrenfestsche Theorem? Interpretieren Sie die einzelnen Terme.
36. Welchen Wert haben die Kommutatoren [p̂j , r̂k ], [r̂j , r̂k ], [p̂j , p̂k ] für Orts- bzw. Impulskomponenten r̂j und p̂j ?
37. Welchen Wert haben die Kommutatoren [L̂j , L̂k ] für Drehimpulskomponenten L̂j ?
2
~ˆ , L̂j ]?
Was ist [L
Aufgaben (Abgabe bis 10:15 Uhr am 14.5.2012 im roten Postfach 40 im Staudingerweg 7)
Aufgabe 7) Kommutatoren (6 Punkte)
a) Zeigen Sie: Für zwei Operatoren  und B̂ mit [Â, B̂] = i~ gilt: [Â, B̂ n ] = i~nB n−1 .
(Hinweis: Machen Sie einen Induktionsbeweis).
b) F(x) sei eine Funktion des Ortsoperators (1-dimensional). Zeigen Sie, dass
[p, F (x)] = ~i dFdx(x) gilt. Führen Sie den Beweis zum einen direkt, zum anderen unter Benutzung von (a).
c) Zeigen Sie: Für Drehimpulskomponenten gilt [L̂j , L̂k ] = i~ǫjkl L̂l .
(Dabei ist ǫ der Levi-Civita-Tensor und es gilt Einsteinsche Summenkonvention.)
2
~ˆ , L̂j ] = 0.
d) Zeigen Sie: Aus (c) folgt: [L
Aufgabe 8) Unschärferelation (6 Punkte)
a) Wie genau muß man die Geschwindigkeit einer Kugel (Radius r = 1cm, Dichte ρ = 1g/cm3 )
messen, um die Unschärferelation nachzuweisen, wenn man die Position der Kugel mit Licht
der Wellenlänge λ = 10−7 m beobachtet?
b) Betrachten Sie einen harmonischen Oszillator mit der klassischen Energiefunktion Ekl =
p2
1
2 2
2m + 2 mω x . Benutzen Sie die Orts-Impuls-Unschärfe, um über das Minimum der klassischen Energiefunktion die minimale mögliche Energie des Systems abzuschätzen.
c) Welche kinetische Energie (in eV) muß ein Elektron mindestens haben, wenn es in einem
Atom (Radius ∼ 1Å) bzw. in einem Atomkern (Radius ∼ 1 Fermi) lokalisiert sein soll?
d) Verifizieren Sie die Orts-Impuls-Unschärferelation für den Fall des Gaußschen Wellenpaketes. Auf das Wesentliche reduziert lauten die Wellenfunktionen:
it
1
N
2
2 2
√ e−x /(2~ b ) mit b2 = 2 2 +
~
a
~m
~b
2
2 2
ψ̃(p, t) = N e−p /(2~ a ) e−iEt/~
ψ(x, t) =
Aufgabe 9) Zerfließen eines Wellenpakets (6 Punkte)
Wie sich ein Wellenpaket zeitlich entwickelt kann man sich anhand von Applets im Internet
verdeutlichen, siehe z.B.
www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~feindt/schrodinger/Beispiel1.htm
http://webphysics.davidson.edu/Applets/QTime/QTime_Examples.html
Das Zerfließen eines freien Wellenpakets kann man z.B. über die zeitliche Entwicklung der Ortsunschärfe ∆x quantifizieren. Zeigen Sie (im eindimensionalen Fall)
∆x(t)2 = ∆x(0)2 +
t2
∆p2 .
m2
(1)
Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
a) Zeigen Sie, daß generell für Größen A gilt: ∆A2 = hA2 i − hAi2 .
b) Leiten Sie mit Hilfe des Ehrenfest-Theorems die Bewegungsgleichungen für hpi, hxi, hp2 i,
hx2 i, und hxp + pxi her. Sie erhalten:
dhpi
= 0;
dt
dhxi
hpi
=
dt
m
dhp2 i
dhxp + pxi
2
dhx2 i
1
= 0;
= hp2 i;
= hxp + pxi.
dt
dt
m
dt
m
c) Wählen Sie den Zeitursprung und den Ortsursprung so, daß zur Zeit t = 0 die Erwartungswerte hxi und hxp + pxi Null werden. Integrieren Sie die Bewegungsgleichungen aus (b) und
beweisen Sie die Gleichung (1).