5. Aufgabenblatt

Theoretische Physik IV: Quantenmechanik
(Vorlesung Prof. Dr. J. Timmer)
Aufgabenzettel Nr. 5
Aufgabe 1: Unschärferelation
(7 Pkt.)
Die Unschärferelation für die Orts- und Impulsoperatoren lautet ∆xi ∆pj ≥ ~2 δij . Diese ist für alle
Zustände ψ gültig. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die untere Schranke angenommen wird, falls
der Zustand ψ die Differentialgleichung
~ ∂
− hpi ψ = iλ(x − hxi)ψ
(1)
i ∂x
mit vorgegebenem Impulserwartungswert hpi und Ortserwartungswert hxi erfüllt.
i.) Lösen Sie Gleichung (1) und zeigen Sie mithilfe des Ehrenfest-Theorems, dass der Zustand ψ
einem Gauß’schen Wellenpaket mit Ortserwartungswert hxi und Ausbreitungsgeschwindigkeit
dhxi
hpi
dt = m entspricht. (2 Pkt.)
Hinweis: Die homogene lineare Differentialgleichung
ψ 0 (x) = A(x)ψ(x) mit ψ(x), A(x) ∈
R
A(x)dx
besitzt die allgemeine Lösung ψ(x) = e
.
C
Neben der allgemeinen Herleitung über die Kommutatorrelation lässt sich die Orts-Impuls-Unschärfe
R
auch aus der Fouriertransformation F : S( ) 3 ψ(x) 7→ ψ̃(k) = √12π ψ(x)e−ikx dx ∈ S( ) ableiten.
R
R
R
ii.) Zeigen Sie zunächst für ψ ∈ S( ) die Identität (2 Pkt.)
Z
∂
∂
−hψ|ψi = x |ψ(x)|2 dx = 2 Rehxψ| ψi.
∂x
∂x
∂
∂
iii.) Nutzen Sie die in Aufgabe 3, Blatt 4 gezeigten Relationen F[xψ] = i ∂k
F[ψ] bzw. F[ ∂x
ψ] =
ikF[ψ], sowie die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung, um
kxψ(x)k2 · kk ψ̃(k)k2 ≥
1
kψk22
2
zu folgern. (1 Pkt.)
R
iv.) Im letzten Schritt nehmen Sie an, dass ψ ∈ S( ) eine beliebige Funktion mit kψk2 = 1 ist, d.h.
|ψ(x)|2 und, wegen der Isometrie, auch |ψ̃(k)|2 können als Wahrscheinlichkeitsdichten auf
interpretiert werden. Zeigen Sie nun, dass für deren Varianzen die Ungleichung
Z
Z
2
2
1
x − hxi |ψ(x)|2 dx ·
k − hki |ψ̃(k)|2 dk ≥
4
gilt. (2 Pkt.)
Hinweis: Wie verhält sich die Fouriertransformation unter Translationen?
Münsteraufgabe
Warum ist der Münsterturm unten vier- und oben achteckig?
http://webber.physik.uni-freiburg.de/~jeti/vorles Theo IV/vorles Theo IV.html
R