Einführung in die Quantenmechanik und Statistik, SS 2016

Einführung in die Quantenmechanik und Statistik, SS 2016
Hausaufgabenblatt 5
Prof. Dr. Reinhard Schlickeiser
Abgabe bis zum 31.05.2016, 12 Uhr, im Briefkasten gegenüber NB 7/67
Bitte geben Sie die Lösungen zu verschiedenen Aufgaben auf getrennten Blättern ab und
schreiben Sie Ihren Namen sowie Ihre Übungsgruppe auf jedes Blatt.
Aufgabe 5.1 (3 Punkte)
Der Zustand eines quantenmechanisches System werde durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben, wobei die Erwartungswerte hxi und hpi von Ort bzw. Impuls von Null verschieden
seien. Man kann dann durch eine Translation (sowie eine quantenmechanisch irrelevante
Phasenverschiebung) einen Zustand Ψ(x0 ) finden, in dem hx0 i und hp0 i verschwinden.
Zeigen Sie, dass der Zustand mit der folgenden Wellenfunktion das Behauptete leistet:
Ψ(x0 ) = exp −
ıhpi 0
x ψ x0 + hxi .
~
Aufgabe 5.2 (5 Punkte)
Ein Wellenpaket mit ∆x ∆p = ~/2 wird als Minimumwellenpaket bezeichnet. In dieser
Aufgabe soll gezeigt werden, dass es stets die Form einer Gaußkurve besitzt. Gemäß
Aufgabe 5.1 genügt es, dies für den einfacheren Fall mit hxi = 0 und hpi = 0 zu beweisen.
Zeigen Sie mit Hilfe des Integrals (2.69) aus dem Skript, dass ein Minimumwellenpaket mit
hxi = 0 und hpi = 0 durch folgende Wellenfunktion beschrieben wird:
1
x2
ψ(x) =
exp
−
.
4(∆x)2
(2π(∆x)2 )1/4
Hinweis: Betrachten Sie den Fall I(λ) = 0 und leiten Sie daraus mit Hilfe der Ortsdarstellung
der Operatoren x̂ und p̂ eine Differentialgleichung für ψ(x) her.
Aufgabe 5.3 (4 Punkte)
Leiten Sie eine Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens im
komplexen Potential
V (r) = V1 (r) + ıV2 (r)
´ 3
ab. Ist die Norm N = d r |Ψ(r, t)|2 für V2 (r) < 0 erhalten?