1. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
19. April 2016
Prof. Dr. Tobias Brandes
Dr. Judith Lehnert, Dr. Marten Richter, Mathias Hayn, Alexander Kraft
Sina Böhling, Jonas Rezacek
1. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Di. 3. Mai 2016 vor der Vorlesung im Hörsaal EW 201
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden Zwischenschritte und ausführliche Kommentare
zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es Punkte! Die Zettel müssen in 3er-Gruppen abgegeben werden. Bitte geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und das Tutorium an!
Aufgabe 1 (2+2=4 Punkte): Delta-Distribution & Zustandsdichte
In der Vorlesung wurde die Zustandsdichte für ein System in einem Volumen V durch
%(ω) =
N
1 X
δ(ω − ωn )
V
(1)
n=1
definiert. Hier sind ωn die Energien der N Zustände. Im thermodynamischen Limes wird aus
den diskreten Energien die kontinuierliche Dispersionsrelation ω(k).
(a) Bevor Sie die Zustandsdichte für ein konkretes System berechnen, zeigen Sie zunächst,
dass für die Delta-Distribution folgende Relation gilt:
M
X
δ(x − xm )
δ f (x) =
.
|f 0 (xm )|
(2)
m=1
Hier wird über die M einfachen Nullstellen xm der Funktion f (x) summiert.
R
Hinweis: Zerlegen Sie das Integral R δ f (x) g(x) dx in Intervalle [an , an+1 ), in welchen
jeweils nur eine Nullstelle xn liegt und entwickeln Sie f (x) in eine Taylor-Reihe um das
jeweilige xn . Hier ist g(x) eine Testfunktion.
(b) Berechnen Sie nun die Zustandsdichte für ein nicht-relativistisches freies Teilchen in
2
drei Raumdimensionen. Dieses hat die Dispersionsrelation ω(k) = ~k
2m . Verwenden Sie
dazu das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe. Rechnen Sie dabei wie im Skript im
thermodynamischen Limes.
Aufgabe 2 (2+3+2=7 Punkte): Fourier-Transformation & freie Schrödinger-Gleichung
Die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in drei Raumdimension lautet:
i~
∂
~2 2
ψ(r, t) = −
∇ ψ(r, t).
∂t
2m
(3)
Dies ist die Schrödinger-Gleichung im Ortsraum mit der Wellenfunktion ψ(r, t) im Ortsraum.
Die (nur im Ort) Fourier-Transformierte ψ̃(k, t) der Wellenfunktion ψ(r, t) ist definiert über:
Z
ψ̃(k, t) ≡
ψ(r, t) e−ik·r d3 r.
(4)
R3
Diese wird als Wellenfunktion im Impulsraum bezeichnet. Entsprechend gilt für die Rücktransformation:
Z
1
ψ̃(k, t) eik·r d3 k.
(5)
ψ(r, t) =
(2π)3 R3
1
(a) Stellen Sie die Schrödinger-Gleichung im Impulsraum auf. Diese ist eine Differentialgleichung nur noch in der Zeit für ψ̃(k, t).
(b) Betrachten Sie nun einen beliebigen Anfangswert ψ̃(k, t = 0) und lösen Sie die Differentialgleichung aus (a). Zeigen Sie damit, dass die allgemeine Lösung im Ortsraum
gegeben ist durch:
Z
U (r, t; r0 , t0 = 0) ψ(r0 , t0 = 0) d3 r0 ,
(6)
ψ(r, t) =
R3
mit
U (r, t; r0 , t0 ) =
m
2πi~(t − t0 )
3/2
"
#
i 1 (r − r0 )2
exp
,
m
~2
t − t0
t > t0 .
(7)
(c) Zeigen Sie, dass sich die Funktion
U aus Aufgabenteil (b) allein durch die klassische
Rt
Wirkung S = S(r, t; , r0 , t0 ) = t0 L(r(τ ), ṙ(τ ), τ ) dτ des freien Teilchen ausdrücken lässt:
v "
#
u
u
1
−∂ 2 S
0 0
t
U (r, t; r , t ) = det
eiS/~ .
(8)
2πi~ ∂x0m ∂xn
Dabei ist det[An,m ] die Determinante der Matrix A.
Aufgabe 3 (3+1+3+3+2=12 Punkte): Gauß’sches Wellenpaket
In dieser Aufgabe soll die zeitliche Entwicklung eines freien Wellenpakets untersucht werden.
Dazu betrachten wir ein Gauß’sches Wellenpaket in einer Raumdimension.
(a) Benutzen Sie die allgemeine Lösung aus Aufgabe (2b) (Passen Sie das Ergebnis auf
eine Raumdimension an!), um ψ(x, t) für den speziellen Anfangswert ψ(x, t = 0) =
x2
N −1/2 exp[− 2∆
2 + ik0 x] zu berechnen. Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion in der
Form
"
#
r
h 2
0
(x − ~k
1 ∆
1 ~k0 i
m t)
ψ(x, t) =
exp −
exp
ik
x
−
t
(9)
0
N ∆(t)
2 ∆(t)2
2 m
p
darstellen lässt. Dabei ist ∆(t) = ∆ 1 + i~t/(m∆2 ) .
(b) Bestimmen Sie N , so dass die Wellenfunktion ψ(x, t) auf Eins normiert ist.
Hinweis: Die Norm eines Zustands bleibt unter der Dynamik der Schrödinger-Gleichung
erhalten.
2
(c) Berechnen Sie den Mittelwert
R ∞ ∗hxi und die Varianz h(x − hxi) i des Ortes in diesem
Zustand. Hier ist hAi = −∞ ψ (x, t) A ψ(x, t) dx der Erwartungswert der Größe A im
normierten Zustand ψ.
Hinweis: Beachten Sie, dass ∆(t) komplex ist.
(d) Zeichnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ(x, t)|2 für verschiedene k0 und Zeiten
t. Diskutieren Sie in diesem Zusammenhang Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe (c). Was
ist die physikalische Bedeutung von k0 ?
(e) Nun beschreibe dieses Gauß’sche
Wellenpaket ein Teilchen der Masse m. Die Größe
p
des Teilchens sei durch h(x − hxi)2 i bestimmt. Nach welcher Zeit ist die Größe (i)
eines Elektrons, (ii) eines Fußballs um 10% angewachsen, wenn man sie durch die freie
Schrödinger-Gleichung beschreiben würde? Diskutieren Sie Ihr Ergebnis.
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