Übungsblatt 8

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Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
Übungsblatt 8 WS 2012/13
Ausgabe: Fr 7. Dezember, Besprechung: Fr. 14. Dezember
1. Aufgabe: Starrer Rotator (Teilchen auf einem Kreis)
Die Winkelbewegung eines Teilchens der Masse M auf einem Kreis mit Radius r wird
durch folgende Schrödingergleichung beschrieben:
−
~2 d2
ψ(ϕ) = Eψ(ϕ)
2I dϕ2
wobei I = M r2 das Trägheitsmoment ist.
(a) Zeigen Sie, dass ψ(ϕ) = Aeimϕ + Be−imϕ eine Lösung der Schrödingergleichung
ist. Welche Werte kann m ohne weitere Randbedingungen annehmen?
(b) Im Falle eines Teilchens auf einem Kreis muss die Wellenfunktion ψ die
zyklische Randbedingung ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π) erfüllen. Zeigen Sie, dass dies zu
einer Quantisierung führt, d.h. dazu, dass m nur die diskreten Werte ml = ±l
mit l = 0, 1, 2, . . . annehmen kann.
(c) Betrachten Sie nun die Wellenfunktion ψ+ (ϕ) = Aeiml ϕ und normieren Sie diese,
d.h. bestimmen Sie die Normierungskonstante A so, dass
Z 2π
∗
dϕ ψ+
(ϕ)ψ+ (ϕ) = 1 .
0
(d) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion ψ+ (ϕ) = Aeiml ϕ Eigenfunktion des Drehimpulsoperators ˆlz = (~/i)(d/dϕ) ist. Dasselbe gilt für die Wellenfunktion
ψ− (ϕ) = Ae−iml ϕ . Wie lauten die entsprechenden Eigenwerte?
(e) Was ist die physikalische Bedeutung der Lösungen ψ± (ϕ) = Ae±iml ϕ ? Vergleichen Sie mit einem klassischen Teilchen, das im oder gegen den Uhrzeigersinn
rotiert.
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