¨Ubungsblatt 3 zur Quantenmechanik Prof. K. Hornberger, M. Bola

Übungsblatt 3 zur Quantenmechanik
Prof. K. Hornberger, M. Bolaños, F. Kiałka, B. Schrinski, B. Stickler
Abgabe bis Donnerstag 18.5.2017 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 7 — Die Wahrscheinlichkeit fließt in Strömen
(8 Punkte)
(a) Bestimmen Sie den Wahrscheinlichkeitsstrom der Wellenfunktion Ψ(x, t) = A(t)e +B(t)e−ikx
und erklären Sie, wieso man hier sinnvoll zwischen einem linkslaufenden und einem rechtslaufenden Wahrscheinlichkeitsstrom unterscheiden kann.
ikx
(b) Zeigen Sie, dass die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeit Pt (a ≤ x ≤ b), das Teilchen
im Interval [a, b] zu finden, nur vom Wahrscheinlichkeitsstrom durch die Intervalgrenzen a und b
abhängt.
(c) Überzeugen Sie sich davon, dass ein hypothetisches komplexes Potential V (x) = V0 (x) − iΓ
[V0 (x) ∈ R und Γ > 0] zur zeitlichen Abnahme der Wahrscheinlichkeitsdichte %(x, t) = |Ψ(x, t)|2
einer normierbaren Wellenfunktion führenR würde. Berechnen Sie für diesen Fall die Zeitabhängig∞
keit der Gesamtwahrscheinlichkeit Pt = −∞ dx %(x, t), mit P0 = 1.
Aufgabe 8 — An der Stufe kehrt man um
(8 Punkte)
Im Folgenden betrachten wir eine von links (x < 0) auf das eindimensionale Potential V (x), V (x <
0) = 0 und V (x ≥ 0) = V0 > 0, einfallende ebene Welle mit Energie E = ~2 k 2 /2m.
(a) Geben Sie die allgemeine Form des von links einfallenden Streuzustandes in den zwei Bereichen
(I) x < 0 und (II) x ≥ 0 an. Formulieren Sie die Anschluss- und Stetigkeitsbedingungen für die
Wellenfunktion.
(b) Bestimmen Sie die Reflexionswahrscheinlichkeit R(k) und skizzieren Sie diese als Funktion von
k. Unterscheiden Sie die Fälle E < V0 und E ≥ V0 . Was fällt Ihnen auf?
(c) Wie lautet die Transmissionswahrscheinlichkeit T (k) = 1 − R(k). Überzeugen Sie sich davon,
dass T (k) in diesem Fall nicht gleich dem Betragsquadrat der Transmissionsamplitude ist, sondern gleich dem Verhältnis von transmittiertem zu einlaufendem Wahrscheinlichkeitsstrom.
Aufgabe 9 — Und ein Loch fliegt herum
(9 Punkte)
In dieser Aufgabe bestimmen wir den gebundenen Zustand des sich bewegenden attraktiven Deltapotentials, V (x, t) = −αδ(x − vt), mit α > 0.
(a) Setzen Sie in die zeitabhängige Schrödingergleichung den Ansatz
αm|x − vt|
imvx/~
Ψ(x, t) = A(t)f (x, t)e
mit f (x, t) = exp −
~2
ein um die Funktion A(t) zu bestimmen. Verwenden Sie hierzu, dass f (x, t) die stationäre Schrödingergleichung mit Potential V (x, t) und Energie E = −mα2 /2~2 löst (siehe Vorlesung; die Zeit t
tritt hier nur als Parameter auf).
(b) Berechnen Sie den Energieerwartungswert hHit . Sie können diese Teilaufgabe auch lösen, wenn
Sie die Lösung aus Teilaufgabe (a) nicht kennen.
Hinweis: Verwenden Sie ∂x |x| = Θ(x) − Θ(−x), mit Θ(x ≥ 0) = 1 und Θ(x < 0) = 0 der
Heavisidedschen Stufenfunktion.