Einführung in die Quantenphysik

Einführung in die Quantenphysik
SS 2011
7 . Übung
Abgabe am 31. Mai 2011
Vorlesung:
Prof. Igor Sokolov
Übung:
Dr. Sten Rüdiger, Federico Camboni
Aufgabe 1: Eichtransformation und harmonischer Oszillator
Ein Teilchen der Masse m und der elektrischen Ladung e befindet sich in einem Potential
V (x) und in einem magnetischen Feld mit Vektorpotential A im dreidimensionalen Raum.
Das Gesamtpotential lautet dadurch Vg (x) = eΦ(x) + V (x) mit elektrischem Potential
Φ(x).
Das magnetische Feld wechselwirkt mit dem Teilchen, was zu einem zusätzlichen Impulsbeitrag pm = −eA/c führt. Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Also ist
der Gesamtimpuls des Teilchens durch p = p0 + pm gegeben, wobei p0 der Impuls des
Teilchens ohne Magnetfeld ist.
Beim 3. Übungsblatt hatten wir gezeigt, dass der Hamiltonoperator in der zeitabhängigen Schrödingergleichung ih̄∂Ψ(x, t)/∂t = ĤΨ(x, t) gegeben ist durch
eh̄
1
e2
h̄2 2
Ĥ = −
∇ + i (A∇ + divA) +
A2 + eΦ + V.
2
2m
mc
2
2mc
(a) Es ist bekannt, dass es eine Eichtransformation
A0 (x, t) = A(x, t) + ∇χ(x, t)
1∂
χ(x, t)
Φ0 (x, t) = Φ(x, t) −
c ∂t
gibt, die das magnetische und elektrische Feld invariant läßt. Die Frage ist nun, wie
diese Eichung die Wellenfunktion des Teilchens verändert. Begründen Sie dazu, wieso
es Sinn macht, die neue Wellenfunktion Ψ0 (x, t), die die Eichung berücksichtigt, mit
Ψ0 (x, t) = eiα Ψ(x, t), α ∈ C anzusetzen.
(b) Zeigen Sie mit den Überlegungen aus dem vorigen Teil (a), dass nach Anwendung der
Eichtransformation für den neuen Hamiltonoperator H0 gilt
e−iα H0 Ψ0 = HΨ −
e ∂χ
Ψ
c ∂t
Wie muss dafür α = α(χ) gewählt werden?
(c) Zeigen Sie, dass die zeitabhängige Schrödingergleichung invariant gegenüber der Eichtransformation ist.
1
Einführung in die Quantenphysik,
7 . Übung
Aufgabe 2: Matrizenelemente
Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir oft die sog. Matrizenelemente der Koordinaten für den eindimensionalen harmonischen Oszillator, d.h. die Integrale vom Typ
Z ∞
k
hn|x |mi =
ψn (x)xk ψm (x)dx
−∞
brauchen.
(a) Berechnen Sie die nichtverschwindenden Matrizenelemente hn|x|mi. Wie lautet das
Verhältnis zwischen den entsprechenden n und m?
Hinweis: Stellen Sie x als Kombination aus a and a+ dar!
(b) Berechnen Sie die nichtverschwindenden Matrizenelemente hn|xk |mi für k = 2 und 3.
(c) Wie lautet für beliebiges k das Verhältnis zwischen n und m wenn das entsprechende
hn|xk |mi nicht verschwindet?
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