4. ¨Ubung 14. Kommutator 15. Ehrenfest

Institut für Theoretische Physik der
Universität zu Köln, Sommersemester 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
4. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 10. Mai 2016 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
14. Kommutator
3+10=13 Punkte
Der Kommutator zweier Operatoren Â und B̂ ist definiert durch [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â.
a) Berechnen Sie den Kommutator von x̂ und p̂2 .
b) Zeigen Sie für beliebige Operatoren Â, B̂ und Ĉ:
i) [Â + B̂, Ĉ] = [Â, Ĉ] + [B̂, Ĉ]
ii) [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
und
und
[λÂ, B̂] = [Â, λB̂] = λ[Â, B̂]
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
iii) [Â, [B̂, Ĉ]] + [B̂, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, B̂]] = 0
15. Ehrenfest-Theorem II
8+5+4=17 Punkte
a) Sei Ĥ der Hamiltonoperator eines quantenmechanischen Systems, das sich im Zustand |ψi
befindet, und Â ein zeitunabhängiger Operator. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert hÂi
sich zeitlich gemäß
d
i
hÂi = h[Ĥ, Â]i
dt
~
(1)
entwickelt.
Hinweis: Verwenden Sie die Schrödingergleichung in der Form i~ dψ
dt = Ĥψ.
b) Zeigen Sie, dass Gleichung (1) für den Impulsoperator (d.h. Â = p̂) auf die Bewegungsgleichung
d
hpi = −h∇V i
dt
(2)
führt.
c) Verwenden Sie die Ergebnisse aus Teil b) und Aufgabe 10 um eine Differentialgleichung
für den Ortsmittelwert hxi im Falle des eindimensionalen harmonischen Oszillators (d.h.
2 2
V (x) = m
2 ω x ) herzuleiten. Geben Sie die allgemeine Lösung an.
16. Potentialstufe
3+8+4+5=20 Punkte
Ein Teilchen trifft mit Energie E > V0 > 0 von links auf die Potentialstufe
(
0
für x ≤ 0 ,
V (x) =
V0 für x > 0 .
a) Verwenden Sie die Wellenfunktion
(
A eik1 x + B e−ik1 x
u(x) =
C eik2 x
für x ≤ 0 ,
für x > 0 .
(3)
als Ansatz und bestimmen Sie k1 und k2 , sodass die stationäre Schrödingergleichung
Ĥu = Eu gelöest wird. Welche physikalische Bedeutung haben die drei Terme in (3)?
b) Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten R = |B|2 /|A|2 als Funktion der Energie E. Diskutieren Sie die Grenzfälle E → ∞ und E → V0 .
Hinweis: Bestimmen Sie das Verhältnis A/B durch die Stetigkeitsbedingung an u(x) und
u0 (x) bei x = 0.
c) Betrachten Sie nun den Fall V0 < 0 < E. Welches Verhalten würden Sie klassisch erwarten
und wie verhält sich das quantenmechanische Teilchen tatsächlich? Betrachten Sie insbesondere die Grenzfälle V0 → −∞ und E → 0.
d) Der Transmissionskoeffizient T ist definiert als Verhältnis des transmittierten zum einlaufenden Wahrscheinlichkeitsstrom. Für eine ebene Welle u0 eikx ist der Wahrscheinlichkeitsstrom gegeben durch Ju = ~k|u0 |2 /m, sodass T = (k2 |C|2 )/(k1 |A|2 ). Verifizieren Sie, dass
R + T = 1, wie man aufgrund der Wahrscheinlichkeitserhaltung erwarten würde.