PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1: Lösung Übungsblatt 8

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1
Prof. J. Lipfert
WS 2014/15
Lösung Übungsblatt 8
Lösung Übungsblatt 8
Besprechung am 02.11.2014
Aufgabe 1
Impulserhaltung :
Zwei Personen der Massen m1 und m2 und den Geschwindigkeiten |v 1| = |v 2| =
15km/h rennen in der Universität auf dem Flur frontal ineinander. Beim Aufprallen
halten sich die Personen aneinander fest und bewegen sich gemeinsam weiter. Wie
groß ist die Geschwindigkeit der beiden Personen nach dem Stoß bei einem Massenverhältnis von:
a) 1 : 1 (Student gegen Student)
b) 2 : 1 (Technischer Assisstent gegen Student)
c) 10 : 1 (Sehr dicker Professor gegen Student)
d) in welche Richtung bewegen sich die Personen in den jeweiligen F¨allen
e) Was passiert im Fall c), wenn sich die Personen nicht aneinander festhalten (der
Bauch des Professors ist perfekt elastisch). Welche Geschwindigkeit hat der Student
nach dem Zusammenstoß?
Lösung:
Inelastischer Stoß: Alle Massen bewegen sich als Eine einzige, mit der Geschwindigkeit v 0 , weiter.
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2 ) · v 0
m1 · v1 + m2 · v2
⇒ v0 =
(m1 + m2 )
(1)
(2)
Elastischer Stoß: Alle Massen bewegen sich nach dem Stoß mit verschiedenen Geschwindigkeiten weiter. Zur Lösung benötigen wir Energie- und Impulserhaltung:
1
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v10 + m2 · v20
m1 2 m2 2 m1 02 m2 02
· v1 +
· v2 =
· v1 +
· v2
2
2
2
2
m1 · v1 + m2 · (2v2 − v1 )
⇒ v10 =
m1 + m2
m2 · v2 + m1 · (2v1 − v2 )
⇒ v20 =
m1 + m2
(3)
(4)
(5)
(6)
a) Personen halten sich fest: Stoß ist Unelastisch
aus (2) folgt: v 0 = 0
b) aus (2) folgt: v 0 =
v
3
c) aus (2) folgt: v 0 =
9·v
11
= 5 km
h
= 12, 27 km
h
d) jeweils in die Richtung der größeren Masse
= 9, 54 km
h
e) aus (5) folgt: vProf =
7·v
11
aus (6) folgt: vStudent =
−29·v
11
= −39, 54 km
h
Aufgabe 2
Gyrobus:
Ein Bus (mB = 1000kg) soll eine 1km lange Passstraße hochfahren.
a) Wenn wir Reibungsverluste vernachlässigen, wie viel Energie ist dafür nötig?
b) Wenn wir einfach durch schnelles Fahren SSchwungnehmen, wie viel (kinetische)
Energie können wir speichern, wenn der Bus mit vB = 100 km
auf den Berg zu fährt?
h
Reicht das aus, um den Berg hoch zu fahren? Wie hoch kommen wir damit?
c) Jetzt benutzten wir eine zylindrische Schwungscheibe (ms = 300kg) aus Stahl, mit
einem Radius von r = 0, 5m. Das Trägheitsmoment ist durch JS = 21 mr 2 gegeben.
Die Scheibe wird auf 7000rpm beschleunigt. Reicht die gespeicherte Energie aus, den
Pass hoch zu fahren?
2
Lösung:
a)
∆E = m · g · ∆h = m · g · h = 9, 81 · 106 J
(7)
b)
1
· m · v 2 = 3, 86 · 105 J
2
= Epot
Ekin =
(8)
Ekin
(9)
1
· m · v2 = m · g · h
2
v2
= 39, 33m
⇒h=
2·g
(10)
(11)
c)
1
1 1
· J · ω 2 = · · m · r 2 · (2 · π · f )2
2
2 2
1 1
7000 2
= · · m · r 2 · (2 · π ·
)
2 2
60s
= 10, 06 · 106 J
Erot =
(12)
Erot
(13)
Erot
(14)
Aufgabe 3
Der Brunnen:
Ein Wassereimer (m = 5kg) hängt an einem Seil (l = 8m), das um die Welle (r =
7cm) eines Handrades gewickelt ist. Das Rad und die Welle haben zusammen einen
Trägheitsmoment von JRad = 1, 3kg ·m 2 . Gerade als der volle Eimer oben angekommen
ist wird die Kurbel plötzlich losgelassen und der Eimer fällt in den Brunnen.
Welche Geschwindigkeit hat der Eimer erreicht als sich das Seil komplett abgewickelt
hat?
Lösung:
J · α = Fg · r
a
J · =m ·g ·r
r
m · g · r2
a=
√ J
v = 2·l ·a
s
2 · 5 · 9, 81 · (0, 07)2 · 8
v=
= 1, 72ms −1
1, 3
3
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Abbildung 1: Das Vörderrad des Brunnens
Aufgabe 4
Trouble with Rockets:
In der Vorlesung haben Sie die sogenannte Raketengleichung (1) kennengelernt.
vend = vTreibstoff · ln
mgesamt
mleer
(20)
a) Stellen Sie das Verhältnis von Endgeschwindigkeit und Ausstoßgeschwindigkeit des
Treibstoffes als Funktion des Verhältnisses von Gesamt- zu Leermasse dar. Also in
der Form:
v0 =
vend
vTreibstoff
= ....
mTreibstoff
mleer
(21)
Hinweis: mgesamt = mleer + mTreibstoff
b) Tragen Sie Geschwindigkeit v 0 gegen die Masse m 0 =
Sie?
mTreibstoff
mleer
auf. Was bemerken
c) Um vollständig aus dem Gravitationsfeld der Erde zu gelangen ist eine Endgeschwindigkeit von ca. 10km · s −1 notwendig. Kann eine einzelne Rakete diese Gem
schwindigkeit erreichen wenn nur ein Verhältnis Treibstoff
von 15 : 1 technisch umsetzmleer
bar ist und die Ausstoßgeschwindigkeit des Treibstoffes 2500ms −1 beträgt?
Wie groß müsste das Verhältnis sein um diese Geschwindigkeit zu erreichen?
Wie wird dieses Problem in der Raumfahrt gelöst?
4
Lösung:
a)
mges
vend
= ln
vTreib
m
leer
vend
mTreib + mleer
= ln
vTreib
mleer
mTreib
vend
= ln 1 +
vTreib
mleer
(22)
(23)
(24)
b)
Abbildung 2: Verhältnis von Geschwindigkeit zu Masse
Hohe Endgeschwindigkeiten sind auch bei großen Verhältnissen von Treibstoff- zu
Leermasse nur schwer zu erreichen.
c)
vend
vend
15
= vTreib · 2500ms · ln 1 +
1
−1
= 2500 · ln(16) = 6931, 5ms
−1
(25)
(26)
Ein Verhältnis von 15 : 1 reicht nicht aus.
vend
3
10 · 10 ms −1
⇒1+x
x
= vTreib · 2500ms −1 · ln(1 + x )
= 2500ms −1 · ln(1 + x )
= exp(10000/2500) = exp(4)
= exp(4) − 1 = 53, 6
5
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
Das Problem kann durch eine mehrstufige Rakete gelöst werden. Der erste Rakete
wird nach dem ausbrennen abgesprengt, erst danach zünden die übrigen Raketen.
6