Theoretische Physik IV – Quanten

Theoretische Physik IV – Quanten
Schwerpunkte
Sommersemester 2014
Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
∂
• Schrödingergleichung: i~ ∂t
ψ(~r, t) = Ĥψ(~r, t)
• Hamilton-Operator: Ĥ =
p
~ˆ2
2m
+ V (~rˆ) mit ~rˆ = ~r, p~ˆ = ~i ∇
• Wahrscheinlichkeitsinterpretation
R
– Normierung d3~r |ψ(~r, t)|2 = 1
– Wahrscheinlichkeitsdichte p(~r, t) = |ψ(~r, t)|2
– Wahrscheinlichkeitsstrom ~jWK = i~ (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ)
2m
– Kontinuitätsgleichung ∇ · ~jWK + ṗ = 0
• Separationsansatz ψ(~r, t) = φ(~r)χ(t)
i
• Zeitanteil ebene Welle χ(t) = e− ~ Et
• Ortsanteil zeitfreie Schrödingergleichung Ĥφ(~r) = Eφ(~r)
• Lösung zeitabhängige Schrödingergleichung (→ unitäre Zeitentwicklung)
Wellenmechanik
• Dispersionsbeziehung ω(k) =
~ 2
k
2m
• ebene Welle, Gauß’sche Wellenpakete
• Orts-, Impulsoperator (→ Kommutator [x̂, p̂] = i~)
• Impulsdarstellung (→ Fourier-Transformation ψ̃(p) =
• Beipiele:
– freies Teilchen
– ∞-tiefer Potentialtopf
– endlicher Potentialtopf, -wall (→ Tunneleffekt)
– Zwei-Niveau-Systeme → Rabi-Oszillation
• Ehrenfest’sche Theoreme
2
e
Wasserstoffatom V (r̂) = − 4πε
r̂−1
0
• Zentralkraftproblem → [Ĥ, L̂2 ] = 0 = [Ĥ, L̂z ]
√1
2π~
+∞
R
−∞
dx e−ipx/~ ψ(x))
• Separation des Drehimpulsproblems
• Eigenwertprobleme für Drehimpuls L̂2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi , L̂z |l, mi =
~m |l, mi
– Wertebereiche für Quantenzahlen, Entartung
– Energieeigenwerte der gebundenen Zustände: En =
E1
n2
– Bohr’scher Radius
Harmonischer Oszillator V (x̂) =
mω 2 2
x̂
2
• asymptotisches Verhalten
• Sommerfeld’sche Polynomansatz → Hermite-Polynome
• Energieeigenwerte En = ~ω n + 12 , Nullpunktsenergie
• Grundzustand
• Operatoren:
– Erzeugungs-, Vernichtungsoperator â =
p mω
x̂ + i
2~
q
1
p̂
2m~ω
– Kommutator [â, ↠] = 1̂
– Besetzungszahloperator n̂ = ↠â, Hamiltonoperator Ĥ = ~ω n̂ + 12 1̂
P
2
αn
√
• kohärenter Zustand |αi = e−|α| /2 ∞
n=0 n! |ni
• Eigenwertgleichung: â |αi = α |αi
Drehimpulsalgebra
• Kommutatoren [L̂p , L̂q ] = i~L̂r (p, q, r zyklisch)
• Richtungsquantisierung (→ L̂z , L̂2 )
• Eigenwerte
• Leiteroperatoren L̂± = L̂x ± iL̂y
• Spin (→ Fermionen, Bosonen)
Messung
• adjungierte Operatoren †
• Observable: hermitescher Operator  = †
• Erwartungswert hÂi = hψ| Â |ψi
• Varianz ∆A2 = hÂ2 i − hÂi2
• gleichzeitige Messung (→ Kommutator)
• Eigenwertgleichung  = |an i = An |an i und Eigenschaften
• Messergebnisse sind Eigenwerte von Â
• Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse: pn = | han |ψi |2
• Zustand nach der Messung: von-Neumann-Projektion
Dichteoperator
• reine/gemischte Quantenzustände → kohärente/statistische Überlagerungen
P
P
• Dichteoperator ρ̂ = n pn |ψn i hψn | , pn ≥ 0, n pn = 1 (hψn |ψn i = 1)
• Zeitenwicklung des Dichteoperators i~ρ̂˙ = [Ĥ, ρ̂]
• Spur, Erwartungswerte hÂi = Sp{ρ̂Â}
Bilder
• unitärer Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ) = e−
i(t−t0 )
Ĥ
~
(zeitunabhängiger Ĥ)
• Schrödinger-, Heisenbergbild
– ÂH (t) = Û † (t, t0 )ÂÛ (t, t0 )
– zeitabhängige Erwartungswerte
– zeitabhängige Zustände, Operatoren
– Bewegungsgleichungen
– Heisenberggleichung ∂t ÂH (t) =
1
[ÂH , Ĥ]
i~
• Wechselwirkungsbild
Mathematische Grundlagen
• Hilbertraum:
– Skalarprodukt, Norm
– Orthonormalität: hbk |bl i = δk,l
P
– Vollständigkeitsrelation 1̂ = k |bk ihbk |
– Orthonormalbasis
– Bra-Ket-Notation
– dyadisches Produkt
– erweiterter Hilbertraum
• Operatoren:
– adjungierte Operatoren
– Hermite’sche, unitäre Operatoren
– Eigenwertproblem Â|ψk i = ak |ψk i
+ (∂t Â)H
– Kommutator
– Unschärferelation
• Observablen:
– Eigenwerte
– verträgliche Observablen
– vollständiger Satz vertauschbarer Observablen