Quanten
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Quanten Schwerpunkte Sommersemester 2011 Physikalische Grundlagen • Schwarzer Körper • Lichtquantenhypothese • de Broglie Wellenlänge • Phasenintegral Schrödingergleichung ∂ • Schrödingergleichung: i~ ∂t |ψi = Ĥ |ψi • Hamilton-Operator: Ĥ = p ~ˆ2 2m ˆ + V (~r) • Wahrscheinlichkeitsinterpretation – Normierung ~ 2 – Wahrscheinlichkeitsdichte p(~r) = |ψ(~r)|2 = |h~r|ψi| – Wahrscheinlichkeitsstrom ~jWK = i~ (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) 2m – Kontinuitätsgleichung • zeitfreie Schrödingergleichung: Ĥ |ψi = E |ψi • Lösung zeitabhängige Schrödingergleichung (→ unitäre Zeitentwicklung) Wellenmechanik • Dispersionsbeziehung • ebene Welle, Gauß’sche Wellenpakete • Orts-, Impulsoperator (→ Kommutator [x̂, p̂] = i~) • Impulsdarstellung (→ Fourier-Transformation ψ̃(p) = • Beipiele: – freies Teilchen – ∞-tiefer Potentialtopf – endlicher Potentialtopf, -wall (→ Tunneleffekt) – Zwei-Niveau-Systeme → Rabi-Oszillation • Ehrenfest’sche Theoreme √1 2π~ +∞ R −∞ dx e−ipx/~ ψ(x)) Wasserstoffatom • Separation des Drehimpulsproblems • Eigenwertprobleme für Drehimpuls L̂2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi , L̂z |l, mi = ~m |l, mi – Wertebereiche für Quantenzahlen, Entartung – Energieeigenwerte der gebundenen Zustände: En = E1 n2 – Bohr’scher Radius Harmonischer Oszillator • asymptotisches Verhalten • Sommerfeld’sche Polynomansatz → Hermite-Polynome • Energieeigenwerte En = ~ω n + 21 , Nullpunktsenergie • Grundzustand • Operatoren: – Erzeugungs-, Vernichtungsoperator â = q 1 x̂ + i 2m~ω p̂ 2~ p mω – Besetzungszahloperator n̂ = ↠â, Hamiltonoperator Ĥ = ~ω n̂ + 12 1̂ P n 2 • kohärenter Zustand |αi = e−|α| /2 n √αn! • Eigenwertgleichung: â |αi = α |αi Drehimpulsalgebra • Kommutatoren [L̂p , L̂q ] = i~L̂r (p, q, r zyklisch) • Richtungsquantisierung (→ L̂z , L̂2 ) • Eigenwerte • Leiteroperatoren L̂± • Spin (→ Fermionen, Bosonen) Messung • Observable: hermitescher Operator  • Erwartungswert hÂi = hψ|  |ψi • Varianz ∆A2 = hÂ2 i − hÂi2 • gleichzeitige Messung (→ Kommutator) • Eigenwertgleichung  = |an i = An |an i und Eigenschaften • Messergebnisse sind Eigenwerte von  • Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse: pn = |han |ψi|2 • Zustand nach der Messung: von-Neumann-Projektion Dichteoperator • reine/gemischte Quantenzustände → kohärente/statistische Überlagerungen P P • Dichteoperator ρ̂ = n pn |ψn i hψn | , pn ≥ 0, n pn = 1 • Zeitenwicklung des Dichteoperators • Spur, Erwartungswerte Bilder • unitärer Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ) = e− i(t−t0 ) Ĥ ~ • Schrödinger-, Heisenberg-, Wechselwirkungsbild – – – – zeitabhängige Erwartungswerte zeitabhängige Zustände, Operatoren Bewegungsgleichungen Heisenberggleichung ∂t hÂi = i~1 h[Â, Ĥ]i + h∂t Âi Mathematische Grundlagen • Hilbertraum: – – – – – – – Skalarprodukt, Norm Orthogonalität: hbk |bl i = δk,l Orthonormalbasis P Vollständigkeitsrelation 1̂ = k |bk ihbk | Bra-Ket-Notation dyadisches Produkt erweiterter Hilbertraum • Operatoren: – – – – – adjungierte Operatoren Hermite’sche, unitäre Operatoren Eigenwertproblem Â|ψk i = ak |ψk i Kommutator Unschärferelation • Observablen: – Eigenwerte – verträgliche Observablen – vollständiger Satz vertauschbarer Observablen (zeitunabhängiger Ĥ)
