2 Die zeitunabhängige Schrödingergleichung

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2.1
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung
Stationäre Zustände
[Griffiths 2.1]
Zurück zur Schrödingergleichung
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=−
+VΨ
∂t
2M ∂x2
die man auch als zeitabhängige Schrödingergleichung bezeichnet.
i~
(∗)
Sei V = V (x) zeitunabhängig.
Separationsansatz:
Ψ(t, x) = χ(t)ψ(x)
Damit ist
dχ
∂ 2Ψ
d2 ψ
∂Ψ
=
ψ,
=χ 2
∂t
dt
∂x2
dx
und
dχ
~ 2 d2 ψ
i~ ψ = −
+Vψ χ
dt
2M dx2
1
~2 d2 ψ
1 dχ
ψ=
+Vψ
−
⇒ i~
χ dt
ψ
2M dx2
Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von t, die rechte nur von x.
⇒ linke Seite = rechte Seite = Konstante =: E
D.h.
dχ
= Eχ
dt
Die allgemeine Lsg. dieser Gleichung lautet
i~
χ(t) = const · e−iEt/~
ψ ist bestimmt durch die Gleichung
−
~2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ
2M dx2
Diese bezeichnet man als zeitunabhängige Schrödingergleichung. Man kann sie auch
schreiben als
b = Eψ
Hψ
Bem: Die allgemeine Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung ist nicht von der separierten Form Ψ(t, x) = χ(t)ψ(x). Trotzdem sind diese Lösungen sehr wichtig.
Eigenschaften der separierten Lösungen:
1
1. ,,stationär”: Die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(t, x)|2 = |ψ(x)|2 ist t-unabhängig.
Weiter sind Erwarungswerte von beliebigen Funktionen f (x, p)
Z
~ ∂
∗
ψ(x)
hf (x, p)i = dxψ (x)f x,
i ∂x
unabhängig von t. Es findet daher keine messbare zeitliche Veränderung des Zustandes statt.
2. Das Teilchen hat eine bestimmmte Energie E:
Z
b
hHi = dxψ ∗ Hψ
b = Eψ ist
Wegen Hψ
Z
dxψ ∗ ψ = E
Z
b 2ψ
dxψ ∗ H
hHi = E
Weiter ist
2
hH i =
b 2 ψ = H(
b Hψ)
b = HEψ
b
b = E 2ψ
H
= E Hψ
d.h.
hH 2 i = E 2
Folglich gilt für das Quadrat der Energie-Unschärfe
(∆H)2 = hH 2 i − hHi2 = 0
⇒ jede Messung liefert den gleichen Wert E der Energie.
3. Jede Linearkombination von separierten Lösungen
X
Ψ(t, x) =
cn ψn (x)e−iEn t/~
n
ist wieder eine Lösung. Diese Lösung ist i.A. nicht stationär.
Wir werden sehen: Jede Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit zeitunabhängigem Potential lässt sich als Linearkombination stationärer Lösungen schreiben.
4. Sei Vmin der mininmale Wert des Potentials:
2
Klassisch ist
E ≥ Emin
Dies gilt auch in der Quantenmechanik.
Begründung:
E = hHi =
p2
+V
2M
=
1
hp2 i + hV i
2M
Es ist
Z
hV i =
Z
∗
dx|ψ(x)| V (x) ≥ Vmin
dxψ (x)V (x)ψ(x) =
und
2
2
Z
Z
dx|ψ(x)|2 = Vmin
dk e
|ψ(k)|2 (~k)2 ≥ 0
2π
hp i =
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
1. Freies Teilchen V = 0. Schrödingergleichung (Strich = Ableitung nach x):
−
~2 00
ψ = Eψ
2M
Damit es eine Lsg. gibt muss E > 0 sein. Dann ist die allgemeine Lösung
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
mit konstanten A, B und
√
k=
3
2M E
~
2. Potentialschwelle Sei
V (x) =


0

−V0
x>0
für
x<0
mit V0 > 0:
Damit es eine Lösung gibt, muss E > −V0 sein.
Betrachte den Fall E > 0.
x < 0:
−
~2 00
ψ = (E + V0 )ψ
2M
Allgemeine Lösung:
ψ(x) = Aeiqx + Be−iqx
mit
p
2M (E + V0 )
q=
~
Allgemeine Lösung für x > 0:
ψ(x) = Ceikx + De−ikx
mit k wie oben.
Was passiert bei x = 0? ψ 00 muss dort endlich sein, weil das Potential dort endlich
ist. Daher müssen ψ und ψ 0 bei x = 0 stetig sein:
lim ψ(x) = lim ψ(x),
x→0−
x→0+
lim ψ 0 (x) = lim ψ 0 (x)
x→0−
x→0+
Bez: Anschlussbedingungen Begründung: Angenommen ψ 0 sei unstetig bei x =
0, ψ 0 (x) = f (x) + aΘ(x). Dann wäre ψ 00 (x) = f 0 (x) + aδ(x). Die δ-Funktion ist nicht
endlich bei x = 0. Also muss a = 0 sein. Die Begründung für ψ ist analog 4
Wir haben 4 Konstanten und 2 Anschlussbedingungen. Daher enthält die allgemeine
Lsg. 2 freie Konstanten, genau wie beim freien Teilchen.
Anwendung: Streuung Betrachte ein Teilchen, das von links mit Energie E > 0
auf die Stufe zufliegt. Klassisch wird das Teilchen bei x = 0 abgebremst, fliegt aber
mit geringerer Geschwindigkeit weiter nach links.
Quantenmechanisch kann das Teilchen weiterfliegen, aber es kann auch reflektiert
werden. Weil das Teilchen ursprünglich von links kam, gibt es für x > 0 nur eine
rechtslaufende Welle, d.h. D = 0. Die Anschlussbedingungen bei x = 0 sind dann
q(A − B) = kC
A + B = C,
Das liefert
B=
q−k
A
q+k
Wir hatten für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
i~
∂ψ ∗
∗ ∂ψ
J =−
ψ
−
ψ
2M
∂x
∂x
Die Reflexionswahrscheinlichkeit ist
Jreflektiert R=
Jeinlaufend Hier:
2 2
B q−k
R= =
A
q+k
Für eine strengere Herleitung unseres Ergebnisses braucht man Wellenpakete, siehe
[Bohm 11.17].
7. Mai 2014
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