Teil II: Quantenmechanik 1 Die Wellenfunktion [Griffiths 1.1]

Teil II: Quantenmechanik
Historisches
[Weinberg 1]
Den ersten Hinweis auf die Unmöglichkeit der klassischen Physik fand man in der Thermodynamik des elektromagnetischen Feldes: Das klassische Strahulungsfeld im thermischen
Gleichgewicht hat unendliche Energiedichte.
Planck konnte das korrekte Energiespektrum der Wärmestrahlung zunächst ,,erraten”
(1900). Später hat er dann eine Herleitung mit mit Hilfe der Quantenhypothese gefunden:
Emission und Absorption von Licht mit der Kreisfrequenz ω erfolgt nur in ganzahligen
Vielfachen von ~ω mit dem Planckschen Wirkungsquantum
h
= 1, 05 · 10−34 J s
~=
2π
Einstein postulierte dann 1905: Licht der Wellenlänge λ besteht aus Paketen, Teilchen
der Energie ~ω und Impuls ~~k mit |~k| = 2π/λ = ω/c
Bohr postulierte 1913 Quantenbedingungen für im Atom gebundene Elektronen und konnte so die Energienieveaus im Wasserstoff erklären.
De Broglie hat 1924 Materieteilchen wie z.B. Elektronen Welleneigenschaften zugeschrieben: ω = E/~, ~k = p~/~. Aus E = p~2 /(2M ) ergab sich ω = ~~k 2 /(2M ).
Bis dahin waren das Hypothesen und Kochrezepte die für manche Systeme korrekte Resultate lieferten, für andere nicht, aber keine Theorie. Der Durchbruch zur Quantentheorie
gelang 1925 Heisenberg mit der ,,Matrizenmechanik”, die von Heisenberg, Born und Jordan (1925-26) und unabhängig von Dirac (1926) ausgearbeitet wurde.
Schrödinger hat 1926 die Quantenmechanik ein zweites Mal in Form der ,,Wellenmechanik” entdeckt, aufbauend auf den Ideen von de Broglie. Er fand die Schrödingergleichung
und zeigte später, dass diese mathematisch äuquivalent zur Matrizenmechanik ist. In dieser Vorlesung werden wir die Formulierungen von Schrödinger und später auch die von
Dirac benutzen.
Born fand 1926 die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. Die weitgehend anerkannte Deutung der Quantenmechanik ist die sogenannte Kopenhagener Interpretation, die von Born und Heisenberg abgeschlossen wurde.
1
Die Wellenfunktion
[Griffiths 1.1]
Betrachte ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse M , das sich in einer Raumdimension
im Potential V (x) bewegt. In der klassischen Physik hat das Teilchen zu jedem Zeitpunkt
t eine bestimmte Position x(t), die durch das Newtonsche Gesetz
M ẍ(t) = F t, x(t)
1
mit der Kraft
∂V
∂x
bestimmt ist. Kennt man V , sowie x(t0 ), ẋ(t0 ) für ein t0 , ist dadurch x(t) für alle Zeiten
t festgelegt.
F =−
In der Quantenmechanik ist das ganz anders.
Hierzu gibt es unzählige Beispiele, ich erwähne an dieser Stelle nur zwei:
1. Betrachte ein freies Neutron in Ruhe. Wenn man noch dazu sagt, in welche Richtung sein Spin zeigt, ist der Zustand des Neutrons vollständig bestimmt. Jedes freie
Neutron zerfällt früher oder später in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino.
Man kann aber nicht sagen wann, obwohl man den Zustand vollständig kennt! Was
man sagen kann, dass der Zerfall im Mittel nach knapp 15 Minuten erfolgt, aber es
kann auch kürzer dauern oder auch länger.
2. Licht besteht aus Photonen. Nehmen wir an wir haben einen monochromatischen zirkular polarisierten Lichtstrahl, der auf einen halbdurchlässigen Spiegel fällt. Dann ist
der Zustand jedes Photons vollständig bestimmt. Alle Photonen sind gleich. Trotzdem werden manche vom Spiegel reflektiert und die anderen werden durchgelassen.
Was mit einem einzelnen Photon passiert, kann man nicht vorhersagen, obwohl man
seinen Zustand kennt.
1.1
Die Schrödingergleichung
Ein Teilchen, das sich einer Raumrichtung bewegen kann, wird in der Quantemechanik
durch eine komplexwertige Wellenfunktion ψ(t, x) beschrieben. ψ ist durch eine lineare
partielle Differentialgleichung bestimmmt. Diese kann man nicht herleiten, aber durch die
de Broglie-Relationen motivieren:
Ein freies, d.h. kräftefreies Teilchen hat einen konstanten Impuls p = ~k. Es wird beschrieben durch die ebene Welle
ψ = Aeikx−iωt
wobei
~ω =
Nun ist
~ωψ = i~
∂ψ
,
∂t
(~k)2
2M
(~k)2
~2 ∂ψ 2
=−
2M
2M ∂x2
ψ ist also Lsg. der DGL
i~
∂ψ
~2 ∂ψ 2
=−
∂t
2M ∂x2
2
(∗)
Die Energie als Funktion von p und x ist die Hamiltonfunktion H(p, x). Für freie Teilchen
ist
p2
H(p, x) =
2M
Ersetzt man hierin
∂
p → −i~
∂x
dann kann man (∗) schreiben als
∂
∂ψ
= H −i~ , x ψ
i~
∂t
∂x
Schrödinger postutierte dass dies allgemein gilt, also auch für den Fall mit Potential V (x)
p2
H(p, x) =
+ V (x)
2M
Das ergibt die Schrödingergleichung
i~
∂ψ
~2 ∂ 2 ψ
=−
+Vψ
∂t
2M ∂ 2 x
Wie versprochen ist dies eine partielle DGL. Sie ist linear ⇒ wenn ψ1 , ψ2 Lösungen
sind, dann auch c1 ψ1 + c2 ψ2 mit beliebigen komplexen Zahlen c1 , c2 . Sie genügt also dem
Superpositionsprinzip.
Jetzt haben wir eine Gleichung für ψ, wissen aber noch nicht was ψ bedeutet.
1.2
Die statistische Interpretation
[Griffiths 1.2]
Die Bedeutung kommt jetzt:
|ψ(t, x)|2 = ψ ∗ (t, x)ψ(t, x)
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden.
Anders ausgedrückt:
Zb
dx|ψ(t, x)|2
a
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen a und b (a < b) zu finden.
Mehr kann man nicht sagen! Der Ort des Teilchens ist i.A. nicht bestimmt. Man kann nur
sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man es in einem bestimmten Gebiet findet. Das
Ergebnis einer Messung (hier des Ortes) kann i.A. nicht vorhergesagt werden.
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Es gibt aber eine Ausnahme: Angenommen man macht eine Ortsmessung, findet den Wert
d und wiederholt die Ortsmessung unmittelbar danach. Dann erhält man den gleichen
Wert d. D.h. durch die Messung ändert sich die Wellenfunktion i.A. radikal!
Diese Änderung bezeichnet man als Kollaps der Wellenfunktion.
Eine Konsequenz der Schrödingergleichung und der Interpretation der Wellenfunktion
sind Beugungseffekte von Materieteilchen, z.B. am Doppelspalt:
4
Das gleiche Experiment mit Fußbällen, die blindlings auf eine Torwand mit zwei Löchern
geschossen werden:
22. April 2014
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