9. November 2015

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
M.Sc. N. Bittner
Dr. M. Gross
M.Sc. M. Labbé-Laurent
M.Sc. A. Reindl
Theoretische Physik II: Quantenmechanik I
WiSe 2015/16
4. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP2 15)
9. November 2015
9. Divergenz eines Vektorfeldes
Die Divergenz div v(r) eines Vektorfeldes v : R3 → R3 am Ort r ∈ R3 ist ein Skalar, der
definiert ist durch
Z
1
div v(r) = lim
dA(r′ ) · v(r′ ),
(1)
∆V →0 |∆V |
∂(r+∆V )
wobei ∆V ⊆ R3 ein Volumen ist, das den Ursprung enthält (0 ∈ ∆V ), r + ∆V ist das an
den Ort r verschobene Volumen ∆V , ∂(r+∆V ) ist die Oberfläche, die das Volumen r+∆V
berandet, und dA(r′ ) ist der Vektor, der parallel zur äußeren Normalen an die Oberfläche
∂(r + ∆V ) am Ort r′ ∈ ∂(r + ∆V ) steht und dessen Betrag |dA(r′)| das Flächenmaß ist.
(a) Interpretieren Sie die Größe div v(r).
(b) Berechnen Sie div v(r) in kartesischen Koordinaten, indem Sie Würfel ∆V parallel
zu den kartesischen Achsen wählen. Drücken Sie das Ergebnis mit Hilfe des Nabla∂
∂
∂
Operators ∇ = ex
+ ey
+ ez
aus.
∂x
∂y
∂z
(c) Leiten Sie den Gaußschen Integralsatz
Z
Z
3
d r div v(r) = dA(r) · v(r)
V
(2)
∂V
her, indem Sie eine Zerlegung des beliebigen Volumens V in kleine, würfelförmige
Volumina ∆V betrachten.
r2 (d) Betrachten Sie das Vektorfeld v(r) = r exp − 2 . Berechnen Sie div v(r) und
2σ
Z
3
d r div v(r) mit der Kugel um den Ursprung mit Radius a > 0 als Volumen V .
V
10. Galilei-Invarianz der Schrödingergleichung
(a) Betrachten Sie zwei Inertialsysteme I und I ′ , wobei sich I ′ bzgl. I gleichförmig mit
Geschwindigkeit u bewegt, sodass zur Zeit t = t′ = 0 die Koordinatenursprünge
zusammenfallen (r = r′ = 0). Bestimmen Sie die Galilei-Transformation (r, t) 7→
(r′ , t′ ) von I nach I ′ .
Fortsetzung auf Seite 2
1
(b) Erklären Sie, warum die Wellenfunktionen ψ(r, t) und ψ ′ (r′ , t′ ), die ein quantales Teilchen bzgl. I bzw. I ′ beschreiben, gemäß
ψ ′ (r′ , t′ ) = exp(iφ(r, t))ψ(r, t)
(3)
zusammenhängen müssen, wobei φ(r, t) eine reellwertige Funktion ist.
(c) Die Wellenfunktion ψ(r, t) beschreibe bzgl. I ein quantales Teilchen der Masse m in
einem externen Feld mit Potential V (r, t), d.h. ψ(r, t) genüge der Schrödingergleichung
∂
~2 2
i~ ψ(r, t) = −
∇ + V (r, t) ψ(r, t).
(4)
∂t
2m
Erklären Sie, warum die Wellenfunktion ψ ′ (r′ , t′ ) desselben Teilchens beschrieben bzgl.
I ′ der Schrödingergleichung
~2 ′ 2
∂ ′ ′ ′
′ ′ ′
∇ + V (r , t ) ψ ′ (r′ , t′ )
(5)
i~ ′ ψ (r , t ) = −
∂t
2m
mit V ′ (r′ , t′ ) = V (r, t) genügen muss.
(d) Bestimmen Sie die Funktion φ(r, t) in Gl. (3) und interpretieren Sie das Resultat.
11. Ehrenfestsches Theorem
Betrachten Sie ein quantales Teilchen der Masse m in einem externen Feld mit Potential
V (r, t), sodass die das Teilchen beschreibende Wellenfunktion ψ(r, t) Lösung der Schrödingergleichung
∂
b
i~ ψ(r, t) = H(t)ψ(r,
t)
(6)
∂t
mit dem Hamilton-Operator
~2 2
b
∇ + V (r, t)
H(t)
:= −
2m
ist.
b ist definiert durch
Der Erwartungswert eines beliebigen Operators A(t)
Z
b t := d3 r ψ(r, t)∗ A(t)ψ(r,
b
hA(t)i
t).
(7)
(8)
R3
b t von t sowohl explizit über A(t)
b als auch
Beachten Sie, dass der Erwartungswert hA(t)i
implizit über ψ(r, t) abhängt.
b
(a) Zeigen Sie für einen beliebigen Operator A(t)
Z
b t
dhA(t)i
i
b A(t)
b − A(t)
b H(t))ψ(r,
b
d3 r ψ(r, t)∗ (H(t)
t)
=
dt
~
R3
+
Z
d3 r ψ(r, t)∗
R3
b
∂ A(t)
ψ(r, t).
∂t
(9)
b = −i~∇ das Ehren(b) Leiten Sie für den Ortsoperator b
r = r und den Impulsoperator p
festsche Theorem
E
bE
dhb
rit D p
dhb
pit D
und
=
= − ∇V (b
r, t)
(10)
dt
m t
dt
t
her und diskutieren Sie das Resultat.
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