Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
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TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übung 7 Wichtige Formeln aus der Vorlesung Z Z = () · = + + ⎛ ⎞ ̇() () () = ⎝ ̇() ⎠ () = ⎝ () ⎠ ( ≤ ≤ ) ̇() () Z [ (())̇() + (())̇() + (())̇()] = ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ rot () = ⎝ div () = ∆ () = − − − ⎞ ⎟ ⎠ + + 2 2 2 + 2 + 2 2 Basisaufgaben Beispiel 1: Integrieren Sie das Vektorfeld ⎛ ⎞ 2 () = ⎝ − ⎠ entlang der Kurve (), die durch den Graphen = 3 (0 ≤ ≤ 2) in der Ebene = 2 gegeben ist. Beispiel 2: Das Magnetfeld in der Umgebung zu einem stromdurchflossenen Draht liegt in der Ebene senkrecht zum Draht. Wir betrachten die Ebene = 0, der Draht durchstößt diese Ebene senkrecht bei (0 0). Das Magnetfeld in der Ebene ist dann µ ¶ 1 − ( ) = 2 + 2 längs des Einheitskreises Man berechne das Kurvenintegral von um (0 0). Beispiel 3: Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit, das eine ebene Gegenströmung darstellt, µ ¶ = 0 Berechnen Sie die sog. Zirkulation, d.h. das geschlossene Kurvenintegral entlang des Kreises µ ¶ cos = 0 ≤ ≤ 2 1 + sin 1 Beispiel 4: Die zähe Flüssigkeit wird durch ein zur -Achse koaxiales Rohr vom Radius gepresst. Wenn die Geschwindigkeit () gering ist, tritt eine laminare Strömung ein, die von Hagen und Poiseulle um 1850 bestimmt wurde: ⎛ ⎞ 0 () = ⎝ 2 − 2 − 2 ⎠ 2 + 2 ≤ 2 0 0 Berechnen Sie die Rotation und die Divergenz dieses Feldes. Beispiel 5: Zeigen Sie, dass folgende Relationen gelten: 1. div(rot ) = 0 (Feld der Rotation is quellenfrei) 2. div(grad ) = ∆ (Laplace Operator) 3. div( ) = (grad ) · + div 4. rot(rot ) = grad(div ) − ∆ , wobei ∆ der Laplace-Operator komponentenweise ist Beispiel 6: Gegeben sei eine Kraft = − grad , die sich von einem Potenzial ableitet. Beweisen Sie, dass die gesamte Arbeit, die man aufwenden muss, um ein Teilchen entlang eines Weges vom Punkt 1 zum Punkt 2 zu bewegen, gegeben ist durch Z 2 = · = (1 ) − (2 ) 1 Ergänzungsaufgaben Beispiel 7: Gegeben sei eine Kraft ⎛ ⎞ −2 ( ) = ⎝ −2 ⎠ −2 − 2 (a) Berechnen Sie die Arbeit, die diese Kraft entlang eines ebenen geschlossenen Kreises in der -Ebene und in der -Ebene leistet. (b) Berechnen Sie die Rotation des Kraftfeldes. Was folgt daraus? Beispiel 8: Das amperesche Gesetz besagt, dass das geschlossene Kurvenintegral eines Magnetfeldes in Beziehung steht zu dem verursachenden Strom, der durch die umschlossene Fläche fließt. I · = 0 = konst) um einen vom Strom durchflossenen Draht sind konzentrische Die Magnetfeldlinien (d.h. || Kreise. Wählen Sie als Integrationsweg einen solchen Kreis mit dem Radius und bestimmen Sie daraus die Entfernungsabhängigkeit des Magnetfeldes () eines stromdurchflossenen Drahtes. Hilfe: Verwenden Sie für das Integral Polarkoordinaten. 2 Beispiel 9: Ein Teilchen mit konstanter Masse bewegt sich entlang der -Achse unter dem Einfluss einer konservativen Kraft mit Potential (). Wenn sich das Teilchen zu den Zeiten 1 bzw. 2 an den Positionen 1 bzw. 2 befindet, beweisen Sie, dass gilt r Z 2 p 2 − 1 = 2 1 − () wobei die Gesamtenergie (Summe von kinetischer und potentieller Energie) ist. 3
